Verifique se V=(x, y) mid x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição oplus e de multiplicação por escalar odot dadas por:
(x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) ; alpha odot(x1, y1)=(alpha y1, alpha x1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = (x,y)mid x,yinR
com a adição usual
;(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,,y1+y2)
e a multiplicação por escalar definida por
;alphaodot(x,y)=(alpha,y,;alpha,x)
é um espaço vetorial sobre R.
Para isso precisamos checar os axiomas de espaço vetorial:
  1. Axiomas de adição (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso).
  2. Fechamento sob multiplicação escalar.
  3. Compatibilidade da multiplicação escalar com soma de vetores e soma de escalares.
  4. Identidade escalar 1odot v = v.
  5. Associatividade escalar alphaodot(betaodot v)=(alphabeta)odot v.

Passo 2

Verificação dos axiomas de adição em V:
  • Fechamento: se (x1,y1),,(x2,y2)in V então (x1+x2,y1+y2)in V.
  • Associatividade: l((x1,y1)oplus(x2,y2)r)oplus(x3,y3) =(x1+x2+x3,,y1+y2+y3) =(x1,y1)oplusl((x2,y2)oplus(x3,y3)r)
  • Comutatividade: (x1,y1)oplus(x2,y2) =(x1+x2,y1+y2) =(x2+x1,y2+y1) =(x2,y2)oplus(x1,y1)
  • Neutro: (0,0) satisfaz (x,y)oplus(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
  • Inverso: para (x,y) o inverso é (-x,-y) pois (x,y)oplus(-x,-y)=(0,0).
Portanto, (V,oplus) é grupo abeliano.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar:
se (x,y)in V e alphainR então
alphaodot(x,y)=(alpha y,alpha x)in V.

Passo 4

Verificação das propriedades de compatibilidade escalar:
  • Distributividade em relação à soma de vetores: alphaodotl((x1,y1)oplus(x2,y2)r) =alphaodot(x1+x2,,y1+y2) =l(alpha(y1+y2),,alpha(x1+x2)r)
=(alpha y1+alpha y2,,alpha x1+alpha x2) =(alpha y1,alpha x1)oplus(alpha y2,alpha x2) =alphaodot(x1,y1)oplusalphaodot(x2,y2)
  • Distributividade em relação à soma de escalares: (alpha+beta)odot(x,y) =l((alpha+beta)y,;(alpha+beta)xr) =(alpha y,alpha x)oplus(beta y,beta x) =alphaodot(x,y)oplusbetaodot(x,y)

Passo 5

Verificação da identidade escalar e da associatividade de escalares:
  • Identidade escalar: 1odot(x,y)=(1cdot y,;1cdot x)=(y,x), que em geral não é igual a (x,y) salvo quando x=y.
    Logo, o axioma 1odot v=v falha.
  • Associatividade escalar (também falha em geral): alphaodotl(betaodot(x,y)r) =alphaodot(beta y,beta x) =(alphabeta x,alphabeta y) neql((alphabeta)y,(alphabeta)xr) =(alphabeta)odot(x,y)

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois falha o axioma 1odot v=v (e também a associatividade escalar).

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