Verifique se
é um espaço vetorial com as operações de adição
e de multiplicação por escalar
dadas por:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com a adição usual
e a multiplicação por escalar definida por
é um espaço vetorial sobre .
Para isso precisamos checar os axiomas de espaço vetorial:
e a multiplicação por escalar definida por
é um espaço vetorial sobre
Para isso precisamos checar os axiomas de espaço vetorial:
- Axiomas de adição (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso).
- Fechamento sob multiplicação escalar.
- Compatibilidade da multiplicação escalar com soma de vetores e soma de escalares.
- Identidade escalar
. - Associatividade escalar
.
Passo 2
Verificação dos axiomas de adição em
:
- Fechamento: se
então . - Associatividade:
- Comutatividade:
- Neutro:
satisfaz . - Inverso: para
o inverso é pois .
Portanto,
é grupo abeliano.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação por escalar:
se e
então
.
se
Passo 4
Verificação das propriedades de compatibilidade escalar:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
Passo 5
Verificação da identidade escalar e da associatividade de escalares:
- Identidade escalar:
que em geral não é igual a salvo quando .
Logo, o axiomafalha. - Associatividade escalar (também falha em geral):