1. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
    pi1:lx=1+h-t y=h+2 t z=h
    e pi2:lx=2+t y=-2 h z=h+t

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica e pede o ângulo entre eles. Para isso, precisamos extrair de cada plano dois vetores diretores, calcular o vetor normal de cada um via produto vetorial, e então usar a fórmula do ângulo entre planos que é o ângulo entre seus normais.

Passo 2

Nas expressões paramétricas de pi1
x = 1 + h - t,
y = h + 2t,
z = h
os coeficientes de h e t fornecem dois vetores diretores:
u1 = (1,1,1), v1 = (-1,2,0)

Passo 3

O vetor normal n1 de pi1 é dado por
n1 = u1 times v1 = i & j & k 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 0 = (-2,-1,3)

Passo 4

Nas expressões paramétricas de pi2
x = 2 + t,
y = -2h,
z = h + t
os vetores diretores são
u2 = (1,0,1), v2 = (0,-2,1)

Passo 5

O vetor normal n2 de pi2 é
n2 = u2 times v2 = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & -2 & 1 = (2,-1,-2)

Passo 6

Calculamos o produto escalar e as normas:
n1cdotn2 = (-2)cdot2 + (-1)cdot(-1) + 3cdot(-2) = -9,
|n1| = raiz(-2)^2+(-1)^2+3^2 = raiz14, |n2| = raiz2^2+(-1)^2+(-2)^2 = 3

Passo 7

O ângulo theta entre os planos satisfaz
costheta = l|n1cdotn2r||n1|;|n2| = 9raiz14,3 = 3raiz14,
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theta = arccos!l(tfrac3raiz14r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac3raiz14r)

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