Suponha que o vetor posição de uma partícula em movimento é dado por
r(t)=6 raizt1+t i+3-3 t1+t j com t in[0, infty)
(a) Estabeleça uma relação geométrica entre o vetor posição e o vetor velocidade desta partícula;
(b) Determine a curva que representa a trajetória desta partícula, justificando sua resposta.
(c) Trace o seu hodógrafo, identificando seu sentido de percursso; e
(d) O que ocorre com a trajetória da partícula quando t +infty ? E quando t 0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição ⃗r(t)=6√t/(1+t)\u2009⃗i+(3−3t)/(1+t)\\u2009⃗j para t≥0. O conteúdo é movimento no plano, em que vamos precisar calcular a velocidade por derivação, usar produto escalar para relação geométrica, obter equação da trajetória, e analisar o hodógrafo e limites.

Passo 2

Derivamos ⃗r(t) para obter ⃗v(t)=d⃗r/dt. Para x(t)=6√t/(1+t) aplicamos a regra quociente e para y(t)=3(1−t)/(1+t) idem. O resultado é
vec v(t)=3(1-t)raiz t,(1+t)^2,vec i;+ gl(-6(1+t)^2gr),vec j

Passo 3

Para ver a relação geométrica calculamos o produto escalar ⃗r⋅⃗v. Substituindo ⃗r(t) e ⃗v(t) e simplificando achamos ⃗r⋅⃗v=0 para todo t. Logo o vetor velocidade é sempre perpendicular ao vetor posição.

Passo 4

Como ⃗v⊥⃗r, a partícula se move em círculo com centro na origem. Verificamos isso calculando x²+y²:
x^2+y^2=36t(1+t)^2+9(1-2t+t^2)(1+t)^2=9 Assim a trajetória satisfaz
x^2+y^2=9, que é um círculo de raio 3.

Passo 5

O hodógrafo é o lugar geométrico de (v_x(t),v_y(t)). Como v_y(t)=−6/(1+t)^2<0 sempre, e v_x(t)=3(1−t)/(√t(1+t)^2)>0 se t<1 e <0 se t>1, vemos que: para t→0^+ temos v_y→−6 e v_x→+∞; em t=1 temos (v_x,v_y)=(0,−1.5); e para t→∞ temos (v_x,v_y)→(0,0) vindo do 3º quadrante. No plano (v_x,v_y) é uma curva única que vai do infinito (eixo horizontal abaixo de −6) passando em (0,−1.5) até a origem, percorrida no sentido de t pequeno para t grande.

Passo 6

Para os limites de ⃗r(t): quando t→0 temos
vec r(0)=(0,3), e quando t→∞
vec r(∞)=(0,−3)

Resposta

(a) ⃗v(t)⊥⃗r(t), isto é, ⃗r⋅⃗v=0 para todo t. (b) A trajetória é o círculo x²+y²=9 de raio 3 centrado na origem. (c) O hodógrafo é a curva parametrizada por (v_x(t),v_y(t)) = (3(1−t)/(√t(1+t)²),−6/(1+t)²), que sai de v→(+∞,−6) em t→0⁺, passa em (0,−1.5) quando t=1, e chega em (0,0) quando t→∞, sendo percorrido para t crescente. (d) Como t→0, ⃗r→(0,3); como t→∞, ⃗r→(0,−3).

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