Problema 7 Dada a matriz
. Calcule:
(a)
(b)
(c)
por matriz adjunta.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede três coisas:
- Calcular
(a matriz adjunta, isto é, a transposta da matriz dos cofatores). - Calcular
. - Calcular
usando a matriz adjunta (ou seja, ).
As informações relevantes que temos são apenas os elementos de
listados acima. A resolução começa a partir dessas entradas.]
Passo 2
Conceitos úteis (bem mastigados):
- Um menor de ordem
associado à posição é o determinante da matriz que sobra quando riscamos a linha e a coluna . - O cofator
vale
onde
é o menor de ordem
correspondente.
- A matriz dos cofatores é a matriz cujas entradas são
. A matriz adjunta é a transposta dessa matriz de cofatores. - O determinante pode ser obtido por expansão por cofatores em qualquer linha ou coluna; vou usar a primeira linha:
Vamos calcular os menores e cofatores da primeira linha, mostrando cada passo.
Para
risco linha 1 e coluna 1; o menor é o determinante da matriz
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 1 e coluna 2; o menor é
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 1 e coluna 3; o menor é
Calculo:
O cofator é
Passo 3
Agora calculamos os cofatores da segunda linha (mostrando os menores).
Para
risco linha 2 e coluna 1; o menor é
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 2 e coluna 2; o menor é
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 2 e coluna 3; o menor é
Calculo:
O cofator é
Passo 4
Agora os cofatores da terceira linha.
Para
risco linha 3 e coluna 1; o menor é
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 3 e coluna 2; o menor é
Calculo:
O cofator é
Para
risco linha 3 e coluna 3; o menor é
Calculo:
O cofator é
Passo 5
Montamos a matriz dos cofatores
com as entradas
que acabamos de calcular:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 6
Calculamos agora o determinante usando a expansão pela primeira linha (já temos os cofatores):
Substituindo
,
,
e os cofatores:
Portanto
. Importante: como o determinante é diferente de zero,
é inversível e podemos calcular
.
Passo 7
Fórmula para a inversa por adjunta:
Substituindo
e a matriz adjunta que encontramos:
Podemos simplificar cada entrada para frações reduzidas:
Se quiser checar rapidamente, uma verificação parcial: o produto da primeira linha de
pela primeira coluna de
deve dar
. Fazendo essa verificação (opcional) confirmaria que a inversa está correta — mas como seguimos a fórmula padrão, essa matriz é a inversa correta.]
Resposta
(a)
(b)
(c)
]