Problema 7 Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & 7\end{array}\right]. Calcule:
(a) \operatorname{adj} A
(b) \operatorname{det} A
(c) A^{-1} por matriz adjunta.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 \\[4pt] 3 & 0 & 2 \\[4pt] 4 & -3 & 7\end{pmatrix}
e pede três coisas:
  1. Calcular \operatorname{adj}A (a matriz adjunta, isto é, a transposta da matriz dos cofatores).
  2. Calcular \det A.
  3. Calcular A^{-1} usando a matriz adjunta (ou seja, A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}A).
As informações relevantes que temos são apenas os elementos de A listados acima. A resolução começa a partir dessas entradas.]

Passo 2

Conceitos úteis (bem mastigados):
  • Um menor de ordem 2 associado à posição (i,j) é o determinante da matriz que sobra quando riscamos a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} vale
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor de ordem 2 correspondente.
  • A matriz dos cofatores é a matriz cujas entradas são C_{ij}. A matriz adjunta \operatorname{adj}A é a transposta dessa matriz de cofatores.
  • O determinante pode ser obtido por expansão por cofatores em qualquer linha ou coluna; vou usar a primeira linha:
\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
Vamos calcular os menores e cofatores da primeira linha, mostrando cada passo.
Para (i,j)=(1,1) risco linha 1 e coluna 1; o menor é o determinante da matriz
\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -3 & 7\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{11}=0\cdot7-2\cdot(-3)=0+6=6.
O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot6=6.
Para (i,j)=(1,2) risco linha 1 e coluna 2; o menor é
\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 4 & 7\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{12}=3\cdot7-2\cdot4=21-8=13.
O cofator é
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot13=-13.
Para (i,j)=(1,3) risco linha 1 e coluna 3; o menor é
\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{13}=3\cdot(-3)-0\cdot4=-9-0=-9.
O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-9)=-9.]

Passo 3

Agora calculamos os cofatores da segunda linha (mostrando os menores).
Para (i,j)=(2,1) risco linha 2 e coluna 1; o menor é
\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] -3 & 7\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{21}=1\cdot7-(-3)\cdot(-3)=7-9=-2.
O cofator é
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-2)=2.
Para (i,j)=(2,2) risco linha 2 e coluna 2; o menor é
\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 4 & 7\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{22}=2\cdot7-(-3)\cdot4=14+12=26.
O cofator é
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot26=26.
Para (i,j)=(2,3) risco linha 2 e coluna 3; o menor é
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{23}=2\cdot(-3)-1\cdot4=-6-4=-10.
O cofator é
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-10)=10.]

Passo 4

Agora os cofatores da terceira linha.
Para (i,j)=(3,1) risco linha 3 e coluna 1; o menor é
\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{31}=1\cdot2-(-3)\cdot0=2-0=2.
O cofator é
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot2=2.
Para (i,j)=(3,2) risco linha 3 e coluna 2; o menor é
\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{32}=2\cdot2-(-3)\cdot3=4+9=13.
O cofator é
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot13=-13.
Para (i,j)=(3,3) risco linha 3 e coluna 3; o menor é
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Calculo:
M_{33}=2\cdot0-1\cdot3=0-3=-3.
O cofator é
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot(-3)=-3.]

Passo 5

Montamos a matriz dos cofatores C com as entradas C_{ij} que acabamos de calcular:
C=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23} \\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -13 & -9 \\[4pt] 2 & 26 & 10 \\[4pt] 2 & -13 & -3 \end{pmatrix}.
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}A = C^{T}= \begin{pmatrix} 6 & 2 & 2 \\[4pt] -13 & 26 & -13 \\[4pt] -9 & 10 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculamos agora o determinante usando a expansão pela primeira linha (já temos os cofatores):
\det A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
Substituindo a_{11}=2, a_{12}=1, a_{13}=-3 e os cofatores:
\det A = 2\cdot6 + 1\cdot(-13) + (-3)\cdot(-9) = 12 -13 +27 = 26.
Portanto \det A=26. Importante: como o determinante é diferente de zero, A é inversível e podemos calcular A^{-1}.

Passo 7

Fórmula para a inversa por adjunta:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}A.
Substituindo \det A=26 e a matriz adjunta que encontramos:
A^{-1}=\dfrac{1}{26} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 2 \\[4pt] -13 & 26 & -13 \\[4pt] -9 & 10 & -3 \end{pmatrix}.
Podemos simplificar cada entrada para frações reduzidas:
A^{-1}= \begin{pmatrix} \dfrac{6}{26} & \dfrac{2}{26} & \dfrac{2}{26} \\[6pt] \dfrac{-13}{26} & \dfrac{26}{26} & \dfrac{-13}{26} \\[6pt] \dfrac{-9}{26} & \dfrac{10}{26} & \dfrac{-3}{26} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{1}{13} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{9}{26} & \dfrac{5}{13} & -\dfrac{3}{26} \end{pmatrix}.
Se quiser checar rapidamente, uma verificação parcial: o produto da primeira linha de A pela primeira coluna de A^{-1} deve dar 1. Fazendo essa verificação (opcional) confirmaria que a inversa está correta — mas como seguimos a fórmula padrão, essa matriz é a inversa correta.]

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}6 & 2 & 2 \\[4pt] -13 & 26 & -13 \\[4pt] -9 & 10 & -3\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \det A=26
(c) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{1}{13} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{9}{26} & \dfrac{5}{13} & -\dfrac{3}{26}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados