Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
f\colon \mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, \quad f\bigl((x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})\bigr)=2x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}.
Precisamos verificar se f satisfaz as três propriedades de produto interno em \mathbb{R}^{2}:
  1. simetria, 2) linearidade no primeiro argumento e 3) positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria, ou seja, se
f(v_{1},v_{2})=f(v_{2},v_{1})
para todo v_{1}=(x_{1},y_{1}) e v_{2}=(x_{2},y_{2}). Como a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa, temos
2x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}=2x_{2}x_{1}+3y_{2}y_{1},
logo f(v_{1},v_{2})=f(v_{2},v_{1}).

Passo 3

Verificamos a linearidade no primeiro argumento, ou seja:
(a) f(v_{1}+v_{3},v_{2})=f(v_{1},v_{2})+f(v_{3},v_{2}) e
(b) f(\alpha v_{1},v_{2})=\alpha\,f(v_{1},v_{2}) para todo \alpha\in\mathbb{R}.
Seja v_{3}=(x_{3},y_{3}). Então
f\bigl((x_{1}+x_{3},y_{1}+y_{3}),\,(x_{2},y_{2})\bigr) =2(x_{1}+x_{3})x_{2}+3(y_{1}+y_{3})y_{2}
=2x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}+2x_{3}x_{2}+3y_{3}y_{2} =f(v_{1},v_{2})+f(v_{3},v_{2}),
e
f\bigl(\alpha(x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})\bigr) =2(\alpha x_{1})x_{2}+3(\alpha y_{1})y_{2} =\alpha\bigl(2x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}\bigr) =\alpha\,f(v_{1},v_{2}).

Passo 4

Verificamos a positividade definida, isto é, f(v,v)\ge 0 para todo v=(x,y) e f(v,v)=0 só quando v=0.
f\bigl((x,y),(x,y)\bigr)=2x^{2}+3y^{2}.
Como 2x^{2}\ge0 e 3y^{2}\ge0, segue 2x^{2}+3y^{2}\ge0. Além disso, 2x^{2}+3y^{2}=0 implica x=0 e y=0, ou seja, v=(0,0).

Resposta

A aplicação
f\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=2x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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