Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
Precisamos verificar se
satisfaz as três propriedades de produto interno em
:
- simetria, 2) linearidade no primeiro argumento e 3) positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria, ou seja, se
para todo
e
. Como a multiplicação em
é comutativa, temos
logo
.
Passo 3
Verificamos a linearidade no primeiro argumento, ou seja:
(a) e
(b) para todo
.
Seja . Então
(a)
(b)
Seja
e
Passo 4
Verificamos a positividade definida, isto é,
para todo
e
só quando
.
Como
e
, segue
. Além disso,
implica
e
, ou seja,
.
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, logo define um produto interno em
.