Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.Verifique quais das seguintes funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
f\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=x_1x_2 - y_1y_2,
e pede para verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno em \mathbb{R}^2: bilinearidade, simetria e definitude positiva.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria. Para quaisquer vetores u,v,w\in\mathbb{R}^2 e escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Linearidade em cada argumento:
f(\alpha u + v,w) =(\alpha x_u + x_v)x_w - (\alpha y_u + y_v)y_w =\alpha(x_u x_w - y_u y_w) + (x_v x_w - y_v y_w) =\alpha\,f(u,w)+f(v,w),
e de modo análogo em segundo argumento.
  1. Simetria:
f(u,v)=x_u x_v - y_u y_v =x_v x_u - y_v y_u =f(v,u).
Portanto, bilinearidade e simetria estão satisfeitas.

Passo 3

Agora testamos a definitude positiva: devemos ter
f(v,v)>0 \quad\text{sempre que }v\neq(0,0).
Mas
f\bigl((x,y),(x,y)\bigr)=x^2 - y^2.
Para muitos vetores não nulos isso falha, pois x^2 - y^2 pode ser negativo ou zero mesmo se (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Exemplo concreto de violação: seja v=(0,1). Então
f(v,v)=0^2 - 1^2 = -1 < 0.
Logo não há definitude positiva.

Resposta

A função f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=x_1x_2 - y_1y_2 não define um produto interno em \mathbb{R}^2.

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