Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
e pede para verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno em
: bilinearidade, simetria e definitude positiva.
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria. Para quaisquer vetores
e escalar
:
- Linearidade em cada argumento:
e de modo análogo em segundo argumento.
- Simetria:
Portanto, bilinearidade e simetria estão satisfeitas.
Passo 3
Agora testamos a definitude positiva: devemos ter
Mas
Para muitos vetores não nulos isso falha, pois
pode ser negativo ou zero mesmo se
.
Passo 4
Exemplo concreto de violação: seja
. Então
Logo não há definitude positiva.
Resposta
A função
não define um produto interno em
.