- Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
b) r:
e
s:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas
e
.
Informações dadas no enunciado:
- A reta
é descrita por
- A reta
é descrita por
O objetivo concreto que vamos alcançar: obter vetores diretores de
e
e calcular o ângulo entre esses vetores (o menor ângulo entre as retas).
Passo 2
Parametrizar a reta
e extrair seu vetor diretor.
Explicação didática rápida: uma reta no espaço pode ser escrita em forma paramétrica
onde o vetor diretor é
. Se uma das variáveis for escolhida como parâmetro, as outras são expressas em função dele.
Escolho
. Então, usando as equações de
:
Portanto a forma paramétrica é
Logo o vetor diretor de
é
Passo 3
Parametrizar a reta
e extrair seu vetor diretor.
Da equação de
temos
constante e
Chamando esse valor comum de parâmetro
(ou seja,
), obtemos
Assim a forma paramétrica é
Logo um vetor diretor de
é
Observação: pode-se simplificar
dividindo por
(vetores escalares representam a mesma direção), obtendo a forma mais simples
Passo 4
Fórmula para o ângulo entre vetores e interpretação.
Sejam dois vetores
e
. O cosseno do ângulo
entre eles é dado por
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor.
Aplicando aos vetores
e
:
Produto escalar:
Normas:
Logo
Passo 5
Interpretação do resultado e escolha do ângulo entre as retas.
O valor encontrado é
. Isso corresponde a
(ou
) se tomarmos o ângulo entre os vetores orientados.
Mas a convenção usual para o ângulo entre duas retas é tomar o menor ângulo entre elas, ou seja, um ângulo no intervalo
. Para isso usamos o valor absoluto do cosseno e obtemos
o que dá
Pequena motivação intuitiva: vetores opostos (cosseno negativo) dão um ângulo >90°, mas para ângulo entre retas consideramos o menor dos ângulos formados, então tomamos o complementar para ficar agudo.