1. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
b) r: \left\{\begin{array}{l}y=-2 x-1 \\\ z=x+2\end{array} \quad\right. e \quad s: \frac{y}{3}=\frac{z+1}{-3} ; x=2

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas r e s.
Informações dadas no enunciado:
  • A reta r é descrita por
y = -2x - 1,\qquad z = x + 2.
  • A reta s é descrita por
\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-3},\qquad x=2.
O objetivo concreto que vamos alcançar: obter vetores diretores de r e s e calcular o ângulo entre esses vetores (o menor ângulo entre as retas).

Passo 2

Parametrizar a reta r e extrair seu vetor diretor.
Explicação didática rápida: uma reta no espaço pode ser escrita em forma paramétrica
x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct,
onde o vetor diretor é (a,b,c). Se uma das variáveis for escolhida como parâmetro, as outras são expressas em função dele.
Escolho x=t. Então, usando as equações de r:
y=-2t-1,\qquad z=t+2.
Portanto a forma paramétrica é
(x,y,z)=(t,\,-2t-1,\,t+2)=(0,-1,2)+t(1,-2,1).
Logo o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r=(1,-2,1).

Passo 3

Parametrizar a reta s e extrair seu vetor diretor.
Da equação de s temos x=2 constante e
\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-3}.
Chamando esse valor comum de parâmetro u (ou seja, u=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-3}), obtemos
y=3u,\qquad z=-3u-1.
Assim a forma paramétrica é
(x,y,z)=(2,\,3u,\,-3u-1)=(2,0,-1)+u(0,3,-3).
Logo um vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s=(0,3,-3).
Observação: pode-se simplificar \mathbf{v}_s dividindo por 3 (vetores escalares representam a mesma direção), obtendo a forma mais simples
\mathbf{v}_s=(0,1,-1).

Passo 4

Fórmula para o ângulo entre vetores e interpretação.
Sejam dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}. O cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
onde
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
é o produto escalar e
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
é a norma (comprimento) do vetor.
Aplicando aos vetores \mathbf{v}_r=(1,-2,1) e \mathbf{v}_s=(0,1,-1):
Produto escalar:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-1) = -2-1 = -3.
Normas:
\|\mathbf{v}_r\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|\mathbf{v}_s\|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}.
Logo
\cos\theta=\frac{-3}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}}=\frac{-3}{\sqrt{12}}=\frac{-3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Interpretação do resultado e escolha do ângulo entre as retas.
O valor encontrado é \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Isso corresponde a \theta=150^\circ (ou \theta=\dfrac{5\pi}{6}) se tomarmos o ângulo entre os vetores orientados.
Mas a convenção usual para o ângulo entre duas retas é tomar o menor ângulo entre elas, ou seja, um ângulo no intervalo [0^\circ,90^\circ]. Para isso usamos o valor absoluto do cosseno e obtemos
\cos\theta_{\text{(mín)}}=\left|\cos\theta\right|=\frac{\sqrt{3}}{2},í
o que dá
\theta_{\text{(mín)}}=30^\circ=\frac{\pi}{6}.í
Pequena motivação intuitiva: vetores opostos (cosseno negativo) dão um ângulo >90°, mas para ângulo entre retas consideramos o menor dos ângulos formados, então tomamos o complementar para ficar agudo.

Resposta

\theta=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}

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