1. Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaco vetorial do esnaen vetorial V
(g) V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W=\{f \in V ; f(-1)=f(1)\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}): o conjunto de todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • W=\{f\in V \mid f(-1)=f(1)\}: o subconjunto de funções em V que têm o mesmo valor em -1 e em 1.
O que se pede: verificar se W é um subespaço vetorial de V (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar rigorosamente).

Passo 2

Lembrando a definição prática de subespaço (vou explicar passo a passo):
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W não é vazio (uma maneira conveniente de garantir isso é mostrar que o vetor zero de V pertence a W);
    2. W é fechado sob adição: para quaisquer f,g\in W vale f+g\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e f\in W vale c f\in W.
Aqui os “vetores” são funções. As operações são definidas ponto a ponto:
  • Para f,g\in V defini-se (f+g)(x)=f(x)+g(x) para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para c\in\mathbb{R} e f\in V defini-se (c f)(x)=c\cdot f(x) para todo x\in\mathbb{R}.
    Também o vetor zero é a função 0\in V definida por 0(x)=0 para todo x.

Passo 3

Verificar se o zero pertence a W:
  • Para a função zero 0 temos 0(-1)=0 e 0(1)=0.
  • Logo 0(-1)=0(1), portanto 0\in W.
    Comentário didático: mostrar que o zero está em W já garante que W não é vazio; é um passo padrão e rápido na prova.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (explicando cada igualdade usada):
  • Seja f,g\in W. Pela definição de W temos f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1).
  • Calculemos (f+g)(-1): (f+g)(-1)=f(-1)+g(-1).
  • Usando as igualdades acima substituímos f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1): f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1).
  • Mas f(1)+g(1)=(f+g)(1). Assim (f+g)(-1)=(f+g)(1).
  • Conclusão: f+g satisfaz a condição de W, logo f+g\in W.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (de novo, passo a passo):
  • Seja c\in\mathbb{R} e f\in W. Como f(-1)=f(1), multiplicando por c obtemos c\cdot f(-1)=c\cdot f(1).
  • Pela definição de multiplicação escalar em V, (c f)(-1)=c\cdot f(-1) \qquad\text{e}\qquad (c f)(1)=c\cdot f(1).
  • Portanto (c f)(-1)=(c f)(1),o que mostra c f\in W.

Passo 6

Conclusão lógica:
  • Mostramos que 0\in W (não vazio), que W é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar.
  • Pelas condições da definição, W é um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Observações extras (úteis para a prova, opcionais):
  • Método alternativo (ligeiro e elegante): defina a aplicação linear L:V\to\mathbb{R} por L(f)=f(-1)-f(1).Nota-se que L é linear (soma e escalar saem para fora) e que W=\ker L. Como núcleo de uma transformação linear, W é automaticamente subespaço vetorial. Isso geralmente é mais rápido se souber usar núcleos.
  • Exemplos concretos para intuição:
    • f(x)=x^2 pertence a W, pois f(-1)=1=f(1).
    • g(x)=x não pertence a W, pois g(-1)=-1\neq 1=g(1).
  • Dica de prova: na hora da prova, a rota direta (zero + fechamento) é segura e rápida; se reconhecer W como núcleo de alguma forma linear, fica ainda mais curto.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados