- Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaco vetorial do esnaen vetorial
(g)
Passo 1
O enunciado dá:
-
: o conjunto de todas as funções . -
: o subconjunto de funções em que têm o mesmo valor em e em .
O que se pede: verificar se
é um subespaço vetorial de
(ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar rigorosamente).
Passo 2
Lembrando a definição prática de subespaço (vou explicar passo a passo):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
não é vazio (uma maneira conveniente de garantir isso é mostrar que o vetor zero de pertence a ); -
é fechado sob adição: para quaisquer vale ; -
é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar e vale .
-
Aqui os “vetores” são funções. As operações são definidas ponto a ponto:
- Para
defini-se para todo . - Para
e defini-se para todo .
Também o vetor zero é a funçãodefinida por para todo .
Passo 3
Verificar se o zero pertence a
:
- Para a função zero
temos e . - Logo
, portanto .
Comentário didático: mostrar que o zero está emjá garante que não é vazio; é um passo padrão e rápido na prova.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (explicando cada igualdade usada):
- Seja
. Pela definição de temos e . - Calculemos
: - Usando as igualdades acima substituímos
e : - Mas
. Assim - Conclusão:
satisfaz a condição de , logo .
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (de novo, passo a passo):
- Seja
e . Como , multiplicando por obtemos . - Pela definição de multiplicação escalar em
, - Portanto
o que mostra .
Passo 6
Conclusão lógica:
- Mostramos que
(não vazio), que é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar. - Pelas condições da definição,
é um subespaço vetorial de .
Passo 7
Observações extras (úteis para a prova, opcionais):
- Método alternativo (ligeiro e elegante): defina a aplicação linear
por Nota-se que é linear (soma e escalar saem para fora) e que . Como núcleo de uma transformação linear, é automaticamente subespaço vetorial. Isso geralmente é mais rápido se souber usar núcleos. - Exemplos concretos para intuição:
-
pertence a , pois . -
não pertence a , pois .
-
- Dica de prova: na hora da prova, a rota direta (zero + fechamento) é segura e rápida; se reconhecer
como núcleo de alguma forma linear, fica ainda mais curto.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.