- Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
a) r:
e s:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre duas retas dadas. As informações fornecidas são:
- Reta
com parâmetro (t].
- Reta
está dada em forma simétrica:
Pergunta: qual é o ângulo entre
e
?]
Passo 2
Identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas dadas.
- Para uma reta em forma paramétrica
, o vetor diretor é . Assim, da reta eu extraio o vetor diretor
Expliquei: aqui cada componente é o coeficiente de
nas equações de
.
- Para a forma simétrica
(introduzi o parâmetro ), escrevo
O vetor diretor é o coeficiente de
, ou seja
Observação: vetores diretores podem ser multiplicados por escalares; só interessa a direção.
Passo 3
Apresentar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores e explicar cada termo.
- Produto escalar (ou ponto) de dois vetores
e é
Isto é só multiplicar componentes correspondentes e somar.
- A relação geométrica é
onde
é o comprimento (norma) do vetor
dado por
, e
é o ângulo entre os vetores (
).
- Desse modo, o cosseno do ângulo é
Explicação em palavras: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro; dividindo pelas normas isolamos o cosseno do ângulo.
Passo 4
Calcular o produto escalar
.
Usando
e
,
Fazendo as multiplicações e soma:
Passo 5
Calcular as normas
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Calcular
e então
.
- Usando a fórmula
Calcule o denominador:
Logo
- Agora
. O valor conhecido é
que em radianos é
Comentário amigo: o cosseno negativo nos diz que as retas formam um ângulo obtuso; aqui exatamente
.