1. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
a) r: \left\{\begin{array}{l}x=-2-2 t \\\ y=2 t \\\ z=3-4 t\end{array} \quad\right. e s: \frac{x}{4}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre duas retas dadas. As informações fornecidas são:
  • Reta r\) está dada em forma paramétrica: \[\begin{cases} x = -2 - 2t,\\[4pt] y = 2t,\\[4pt] z = 3 - 4t, \end{cases}
com parâmetro (t].
  • Reta s está dada em forma simétrica:
\frac{x}{4}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{2}.
Pergunta: qual é o ângulo entre r e s?]

Passo 2

Identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas dadas.
  • Para uma reta em forma paramétrica x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct, o vetor diretor é (a,b,c). Assim, da reta r eu extraio o vetor diretor
\mathbf{v}_r = (-2,\;2,\;-4).
Expliquei: aqui cada componente é o coeficiente de t nas equações de x,y,z.
  • Para a forma simétrica \dfrac{x}{4}=\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{z-1}{2}=u (introduzi o parâmetro u), escrevo
x=4u,\qquad y=2u-6,\qquad z=2u+1.
O vetor diretor é o coeficiente de u, ou seja
\mathbf{v}_s = (4,\;2,\;2).
Observação: vetores diretores podem ser multiplicados por escalares; só interessa a direção.

Passo 3

Apresentar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores e explicar cada termo.
  • Produto escalar (ou ponto) de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto é só multiplicar componentes correspondentes e somar.
  • A relação geométrica é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{a} dado por \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}, e \theta é o ângulo entre os vetores ( 0\le\theta\le\pi ).
  • Desse modo, o cosseno do ângulo é
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
Explicação em palavras: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro; dividindo pelas normas isolamos o cosseno do ângulo.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s.
Usando \mathbf{v}_r=(-2,2,-4) e \mathbf{v}_s=(4,2,2),
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = (-2)\cdot 4 + 2\cdot 2 + (-4)\cdot 2.
Fazendo as multiplicações e soma:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = -8 + 4 -8 = -12.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{v}_r\| e \|\mathbf{v}_s\|.
  • Para \mathbf{v}_r:
\|\mathbf{v}_r\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
  • Para \mathbf{v}_s:
\|\mathbf{v}_s\|=\sqrt{4^2+2^2+2^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.

Passo 6

Calcular \cos\theta e então \theta.
  • Usando a fórmula
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s}{\|\mathbf{v}_r\|\,\|\mathbf{v}_s\|}=\frac{-12}{(2\sqrt{6})(2\sqrt{6})}.
Calcule o denominador:
(2\sqrt{6})(2\sqrt{6})=4\cdot 6 = 24.
Logo
\cos\theta = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}.
  • Agora \theta = \operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right). O valor conhecido é
\theta = 120^\circ,
que em radianos é
\theta = \frac{2\pi}{3}.
Comentário amigo: o cosseno negativo nos diz que as retas formam um ângulo obtuso; aqui exatamente 120^\circ.

Resposta

120^\circ (ou \dfrac{2\pi}{3} radianos)

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