Determinar o ângulo \theta entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, sabendo-se que:
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0},\|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=3,\|\vec{w}\|=4

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} tais que \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0} e \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3, \|\vec{w}\|=4. Queremos o ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}. Para isso vamos usar produto escalar e propriedades de norma de soma de vetores.

Passo 2

Da condição \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0} segue
\vec{w}=-(\vec{u}+\vec{v})
e portanto
\|\vec{w}\|^2=\|\vec{u}+\vec{v}\|^2.

Passo 3

Pela identidade de norma de soma de vetores temos
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Substituindo \|\vec{u}\|^2=4, \|\vec{v}\|^2=9 e \|\vec{w}\|^2=16 resulta
16 = 4 + 9 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} \quad\Longrightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v} = \tfrac{3}{2}.

Passo 4

O produto escalar também se relaciona com o ângulo \theta via
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\cos\theta.
Logo
\cos\theta = \frac{\tfrac{3}{2}}{2\cdot3} = \frac{1}{4}.

Passo 5

Basta tomar arco cosseno para obter o ângulo:
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)

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