Seja um paralelogramo construído sobre os vetores \vec{u} e \vec{v}. Determinar o ângulo \varphi entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: \|\vec{u}\|=\sqrt{3},\|\vec{v}\|=1 e o ângulo \theta entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de \frac{\pi}{6} radianos.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo construído sobre os vetores \vec u e \vec v e pede o ângulo \varphi entre as diagonais, que são \vec u+\vec v e \vec u-\vec v. Vamos usar o produto escalar para ângulos entre vetores e expressões para normas de soma e diferença em função de \|\vec u\|, \|\vec v\| e do cosseno de \theta.

Passo 2

Para dois vetores quaisquer \vec a e \vec b, o cosseno do ângulo entre eles é
\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\|\vec a\|\;\|\vec b\|}.
Aqui \vec a=\vec u+\vec v e \vec b=\vec u-\vec v. O numerador fica
(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) =\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2,
pois os termos cruzados se cancelam.

Passo 3

Agora calculamos as normas:
\|\vec u+\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2+2\,\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta =3+1+2\sqrt3\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{6} =4+2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =4+3=7,
\|\vec u-\vec v\|^2 =\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\,\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta =3+1-3=1.

Passo 4

Portanto
\|\vec u+\vec v\|=\sqrt7, \quad \|\vec u-\vec v\|=1, \quad (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=3-1=2.
Logo
\cos\varphi =\frac{2}{\sqrt7\cdot1} =\frac{2}{\sqrt7},
e
\varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt7}\bigr).

Resposta

\displaystyle \varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt7}\bigr)

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