Sendo \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=3, e o ângulo \theta entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de \frac{\pi}{2} radianos, ache:
a) \|\vec{u}+\vec{v}\|
b) (\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} com \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e ângulo entre eles \theta=\tfrac{\pi}{2}. Pede-se (a) a norma de \vec{u}+\vec{v} e (b) o produto escalar (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}). Vamos usar propriedades de norma, cosseno do ângulo e expansão do produto escalar.

Passo 2

Para achar \|\vec{u}+\vec{v}\| usamos a fórmula estilo “lei dos cossenos” em vetores:
\|\vec{u}+\vec{v}\| =\sqrt{\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\,\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta}\,.

Passo 3

Como \theta=\tfrac{\pi}{2}, temos \cos\theta=0. Substituindo \|\vec{u}\|=2 e \|\vec{v}\|=3:
\|\vec{u}+\vec{v}\| =\sqrt{2^2+3^2+2\cdot2\cdot3\cdot0} =\sqrt{4+9} =\sqrt{13}\,.

Passo 4

Para (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) expandimos o produto escalar:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} =\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2
pois \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.

Passo 5

Substituindo \|\vec{u}\|^2=4 e \|\vec{v}\|^2=9:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =4-9=-5\,.

Resposta

a) \sqrt{13}
b) -5

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