Seja
um subconjunto de
onde
é um e.v. de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado
. Suponha que
para todo
. Mostre que
pode ser escrito como soma direta de autoespaços generalizados comuns a todos os
.
Passo 1
Temos um espaço vetorial de dimensão finita V sobre um corpo alg. fechado K e uma família de operadores lineares {T_i : i ∈ I} que comutam entre si. Queremos mostrar que V se decompõe como soma direta de autoespaços generalizados comuns a todos os T_i. Vamos usar a decomposição em autoespaços generalizados de um operador sobre corpo alg. fechado e o fato de que operadores que comutam preservam tais autoespaços.
Passo 2
Escolhemos T_1 na família. Como K é alg. fechado e dim V = n < ∞, sabemos que T_1 admite decomposição em autoespaços generalizados:
Passo 3
Passo 4
onde
Passo 5
Passo 6
e Spec(T_1) é o conjunto de autovalores de T_1. Como cada T_j comuta com T_1, para v∈V_1(λ) temos
Passo 7
Passo 8
logo (T_1−λI)^n(T_jv)=0 e T_jv∈V_1(λ). Assim cada V_1(λ) é estável por todos os T_j.
Passo 9
Dentro de cada V_1(λ) repetimos o mesmo argumento para T_2:
Passo 10
Passo 11
onde
Passo 12
Passo 13
e m = dim V_1(λ). De novo, a comutatividade garante que T_1 e todos os T_j preservam cada V_{1,2}(λ,μ).
Passo 14
Continuando recursivamente, para cada T_i refinamos a decomposição em cada subespaço obtido até abranger toda a família {T_i}. Como em cada etapa só refinamos subespaços de dimensão finita, o processo termina em número finito de passos não maiores que dim V, produzindo uma soma direta de autoespaços generalizados em que todos os T_i atuam triangularmente.
Passo 15
No fim obtemos a decomposição de V como soma direta dos espaços
Passo 16
Passo 17
correspondentes a cada tupla de autovalores (\lambda_i) para i∈I.
Resposta
V = \bigoplus_{(\lambda_i){i\in I}} \bigl(\bigcap{i\in I}\ker\bigl((T_i-\lambda_i I)^n\bigr)\bigr), onde n=\dim V e cada subespaço é o autoespaço generalizado comum a todos os T_i com autovalores \lambda_i.