Seja L(V) um subconjunto de V onde K é um e.v. de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado Ti Tj=Tj Ti. Suponha que i, j in I para todo V. Mostre que Ti, i in I pode ser escrito como soma direta de autoespaços generalizados comuns a todos os .

Passo 1

Temos um espaço vetorial de dimensão finita V sobre um corpo alg. fechado K e uma família de operadores lineares {T_i : i ∈ I} que comutam entre si. Queremos mostrar que V se decompõe como soma direta de autoespaços generalizados comuns a todos os T_i. Vamos usar a decomposição em autoespaços generalizados de um operador sobre corpo alg. fechado e o fato de que operadores que comutam preservam tais autoespaços.

Passo 2

Escolhemos T_1 na família. Como K é alg. fechado e dim V = n < ∞, sabemos que T_1 admite decomposição em autoespaços generalizados:

Passo 3

V = opluslambdainSpec(T1) V1(lambda),

Passo 4

onde

Passo 5

V1(lambda)=kerl((T1-lambda I)^nr)

Passo 6

e Spec(T_1) é o conjunto de autovalores de T_1. Como cada T_j comuta com T_1, para v∈V_1(λ) temos

Passo 7

T1(Tjv)=Tj(T1v)=Tj(lambda v)=lambda Tjv,

Passo 8

logo (T_1−λI)^n(T_jv)=0 e T_jv∈V_1(λ). Assim cada V_1(λ) é estável por todos os T_j.

Passo 9

Dentro de cada V_1(λ) repetimos o mesmo argumento para T_2:

Passo 10

V1(lambda)=oplusmuinSpec(T2|V1(lambda))V1,2(lambda,mu),

Passo 11

onde

Passo 12

V1,2(lambda,mu)=kerl((T2-mu I)^mmidV1(lambda)r)

Passo 13

e m = dim V_1(λ). De novo, a comutatividade garante que T_1 e todos os T_j preservam cada V_{1,2}(λ,μ).

Passo 14

Continuando recursivamente, para cada T_i refinamos a decomposição em cada subespaço obtido até abranger toda a família {T_i}. Como em cada etapa só refinamos subespaços de dimensão finita, o processo termina em número finito de passos não maiores que dim V, produzindo uma soma direta de autoespaços generalizados em que todos os T_i atuam triangularmente.

Passo 15

No fim obtemos a decomposição de V como soma direta dos espaços

Passo 16

V(lambdai)iin I=capiin Ikerl((Ti-lambdai I)^nr),

Passo 17

correspondentes a cada tupla de autovalores (\lambda_i) para i∈I.

Resposta

V = \bigoplus_{(\lambda_i){i\in I}} \bigl(\bigcap{i\in I}\ker\bigl((T_i-\lambda_i I)^n\bigr)\bigr), onde n=\dim V e cada subespaço é o autoespaço generalizado comum a todos os T_i com autovalores \lambda_i.

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