Encontrar a área entre y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a área entre as curvas y = x^2 e y = x + 2 . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar usar a integração para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa saber onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção delas. Isso é importante porque esses pontos vão definir os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
x^2 = x + 2
Agora vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Reorganizando a equação:
x^2 - x - 2 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = -1 e c = -2 .

Passo 5

Calculando o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4 times 1 times (-2) = 1 + 8 = 9
Então:
x = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
x = 42 = 2
x = -22 = -1
Então, os pontos de interseção são x = -1 e x = 2 .

Passo 6

Agora, precisamos saber qual das funções está acima da outra entre esses pontos para saber como subtrair na integral. Vamos escolher um valor entre -1 e 2, por exemplo, x = 0 :
Para x = 0 :
y = x^2 = 0
y = x + 2 = 2
Então, y = x + 2 está acima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de x = -1 a x = 2 :
Área = integral-1^2 [(x + 2) - (x^2)] , dx Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Área = integral-1^2 (-x^2 + x + 2) , dx Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + x + 2) , dx = -x^33 + x^22 + 2x
Agora, avaliamos essa expressão de x = -1 a x = 2 :
[ -(2)^33 + (2)^22 + 2(2) ] - [ -(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1) ]
Calculando cada parte:
Para x = 2 :
-83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103
Para x = -1 :
13 + 12 - 2 = 13 + 12 - 2 = 56 - 2 = -76
Subtraindo:
103 - (-76) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área entre as curvas y = x^2 e y = x + 2 é 92 unidades quadradas.

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