Determinar a área da região delimitada pelas curvas \left\{\begin{array}{l}x=4 \cos t \\\ y=2 \operatorname{sen} t\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}x=2 \cos t \\\ y=2 \operatorname{sen} t\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá duas curvas paramétricas descrevendo uma elipse e um círculo:
\begin{cases} x=4\cos t,\\\ y=2\sin t, \end{cases}
e
\begin{cases} x=2\cos t,\\\ y=2\sin t. \end{cases}
O objetivo é achar a área da região limitada por essas duas curvas. Para isso vamos passar para as equações cartesianas, identificar quem está dentro de quem e usar fórmula de área de elipse e área de círculo.

Passo 2

Passando para a forma cartesiana, a primeira curva satisfaz
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1,
que é uma elipse de semi-eixos a=4 e b=2. A segunda curva satisfaz
x^2+y^2=4,
que é um círculo de raio 2.

Passo 3

Comparando as duas figuras, o círculo está contido na elipse e se tocam apenas nos pontos (0,2) e (0,-2). Logo, a região entre as curvas é simplesmente a parte dentro da elipse, mas fora do círculo.

Passo 4

A área da elipse é dada por \pi a b. Como a=4 e b=2,
\text{Área}_\text{elipse}=\pi\cdot4\cdot2=8\pi.Á
A área do círculo de raio 2 é
\text{Área}_\text{círculo}=\pi\cdot2^2=4\pi.Áí

Passo 5

A área da região entre as duas curvas é a diferença entre as áreas:
\text{Área} = 8\pi - 4\pi = 4\pi.Á

Resposta

A área da região é 4\pi.

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