Determinar a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas paramétricas descrevendo uma elipse e um círculo:
e
O objetivo é achar a área da região limitada por essas duas curvas. Para isso vamos passar para as equações cartesianas, identificar quem está dentro de quem e usar fórmula de área de elipse e área de círculo.
Passo 2
Passando para a forma cartesiana, a primeira curva satisfaz
que é uma elipse de semi-eixos
e
. A segunda curva satisfaz
que é um círculo de raio
.
Passo 3
Comparando as duas figuras, o círculo está contido na elipse e se tocam apenas nos pontos
e
. Logo, a região entre as curvas é simplesmente a parte dentro da elipse, mas fora do círculo.
Passo 4
A área da elipse é dada por
. Como
e
,
A área do círculo de raio
é
Passo 5
A área da região entre as duas curvas é a diferença entre as áreas:
Resposta
A área da região é
.