Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
Calcule 1. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \sqrt{x}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{x}\sqrt{x},
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma particular.
Passo 2
Para a homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo, duas soluções lineares independentes são
y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = x\,e^{x}.
A solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\,e^{x} + C_2\,x\,e^{x}.
Passo 3
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano de \{y_1,y_2\}: