Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI.
Calcule 1. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{x}\sqrt{x},
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1. Logo, duas soluções lineares independentes são
y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = x\,e^{x}.
A solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\,e^{x} + C_2\,x\,e^{x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano de \{y_1,y_2\}:
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{x} & x\,e^{x} \\[3pt] e^{x} & (1+x)e^{x} \end{vmatrix} = e^{x}\cdot(1+x)e^{x} - e^{x}\cdot x\,e^{x} = e^{2x}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem
u_1' = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}, \quad u_2' = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},
onde g(x)=e^{x}\sqrt{x}. Substituindo:
u_1' = -\frac{x\,e^{x}\cdot e^{x}\sqrt{x}}{e^{2x}} = -x\,\sqrt{x} = -x^{3/2},
u_2' = \frac{e^{x}\cdot e^{x}\sqrt{x}}{e^{2x}} = \sqrt{x} = x^{1/2}.

Passo 5

Integramos u_1' e u_2':
u_1(x) = -\int x^{3/2}\,dx = -\frac{2}{5}\,x^{5/2}, \qquad u_2(x) = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 6

A solução particular vem de
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x).
Substituindo:
y_p(x) = \Bigl(-\tfrac{2}{5}x^{5/2}\Bigr)e^{x} + \Bigl(\tfrac{2}{3}x^{3/2}\Bigr)\,(x\,e^{x}) = \Bigl(-\tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{3}\Bigr)x^{5/2}e^{x} = \tfrac{4}{15}\,x^{5/2}e^{x}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\,e^{x} + C_2\,x\,e^{x} + \frac{4}{15}\,x^{5/2}e^{x}.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{x} + C_2\,x\,e^{x} + \frac{4}{15}\,x^{5/2}e^{x}.

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