Determinar a área da região do plano z=y+1 interior ao cilindro x^2+y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede a área do pedaço do plano z=y+1 que está “dentro” do cilindro vertical x^2+y^2=2. Para resolver isso, vamos tratar o plano como grafo de função z=f(x,y) e usar a fórmula de área de superfície de grafo.

Passo 2

Seja f(x,y)=y+1 e DsubsetR^2 a projeção no plano xy da região de interesse. A fórmula de área para z=f(x,y) sobre D é
A=integral duplaDraiz1+(fx)^2+(fy)^2,dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx=0, fy=1
Logo o integrando fica
raiz1+(fx)^2+(fy)^2 =raiz1+0+1 =raiz2,
que é constante. Assim
A =raiz2integral duplaDdA =raiz2,l(área de Dr) á

Passo 4

A projeção D é o disco x^2+y^2<=2, de raio raiz2. Então
área(D) =pi(raiz2)^2 =2pi á
Substituindo,
A =raiz2cdot2pi =2raiz2,pi

Resposta

2raiz2pi

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