Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=c1-x^2 , se x<1 x^2-4 x+3 , se x >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
O conteúdo envolvido é a diferenciação de polinômios em cada ramo e a verificação da diferenciabilidade em (x=1].

Passo 2

Derivamos a primeira parte, que é o polinômio 1 - x^2. Pela regra de potência, se g(x)=x^2 então g'(x)=2x. Logo,
para x<1: f'(x)=ddx(1 - x^2)=-2x

Passo 3

Derivamos a segunda parte, que é o polinômio x^2 - 4x +3. Aplicando a derivada termo a termo,
ddx(x^2)=2x, ddx(-4x)=-4, ddx(3)=0
Portanto,
para x>1: f'(x)=2x - 4

Passo 4

Verificamos a derivabilidade em x=1. Calculamos as derivadas laterais:
  • derivada à esquerda em 1: limxto1^- f'(x) = -2 cdot 1 = -2.
  • derivada à direita em 1: limxto1^+ f'(x) = 2 cdot 1 - 4 = -2.
    Como coincidiu, f é diferenciável em x=1 e f'(1) = -2.

Passo 5

Reunindo tudo em uma única definição de f'(x), incluindo o ponto x=1:
f'(x)= -2x, & x<1, -2, & x=1, 2x-4, & x>1

Resposta

f'(x)= -2x, & x<1, -2, & x=1, 2x-4, & x>1

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