Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=c-x , se x<0 x^2 , se 0 <= x <= 1 1 , se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= -x, & x<0, x^2, & 0<= x<=1, 1, & x>1,
e pede f'(x)=dfdx(x).
Aqui o conteúdo é derivada de função por partes: vamos usar a regra de derivação de monômio ( ddxx^n=n,x^n-1) e de função constante, e depois checar a existência de derivada nas fronteiras x=0 e x=1 por derivadas laterais.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=-x. Aplicando a regra ddx(-x)=-1, conclui-se
f'(x)=-1, x<0

Passo 3

Para 0<x<1 temos f(x)=x^2. Pela regra do poder,
f'(x)=2x, 0<x<1

Passo 4

Para x>1 temos f(x)=1, uma constante. Logo
f'(x)=0, x>1

Passo 5

Verificamos em x=0 as derivadas laterais:
limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^--h-0h=-1,
limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h^2-0h=0
Como -1neq0, a derivada em x=0 não existe.

Passo 6

Em x=1:
limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)^2-1h =limhto0^-2h+h^2h=2,
limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+1-1h=0
Como 2neq0, a derivada em x=1 também não existe.

Resposta

f'(x)= -1, & x<0, 2x, & 0<x<1, 0, & x>1,
e f'(0) e f'(1) não existem.

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