Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=x arctg x(raizx+1) sec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=xarctan x(raizx+1)sec x,
Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz
l(tfracuvr)'=u'v - u,v'v^2,
além da regra do produto e das derivadas conhecidas de arctan x, raizx e sec x.

Passo 2

Definimos
u(x)=xarctan x
Usando regra do produto,
u'(x)=1cdotarctan x + xcdot11+x^2 =arctan x + x1+x^2

Passo 3

Definimos
v(x)=(raizx+1)sec x
De novo produto, com (raizx+1)'=12raizx e (sec x)'=sec xtan x:
v'(x) =12raizxsec x + (raizx+1)sec xtan x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u,,u',,v,,v' e fatorando sec x no numerador e (raizx+1)^2sec^2 x no denominador, obtemos
f'(x) =sec xl[l(arctan x + tfracx1+x^2r)(raizx+1) - xarctan xl(tfrac12raizx+(raizx+1)tan xr)r] (raizx+1)^2sec^2 x
e cancelando uma sec x,
f'(x) =l(arctan x + tfracx1+x^2r)(raizx+1) - xarctan xl(tfrac12raizx+(raizx+1)tan xr) (raizx+1)^2sec x

Resposta

f'(x) =l(arctan x + x1+x^2r)(raizx+1) - xarctan xl(12raizx+(raizx+1)tan xr) (raizx+1)^2sec x

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