Exercício 2.26. Ache um fator integrante e resolver a equação

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^xr),dx+l(e^xcot(y)+2,y,csc(y)r),dy=0
Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Para resolver, vamos (i) testar a exatidão, (ii) encontrar um fator integrante que dependa só de y, e (iii) resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=e^x, N(x,y)=e^xcot(y)+2,y,csc(y)
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=e^xcot(y)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante mu(y) depende só de y, usamos a condição
partial N/partial x-partial M/partial yM =e^xcot(y)-0e^x =cot(y),
que de fato é função apenas de y. Logo
mu(y)=expl(integralcot(y),dyr) =expl(lnlvertsin(y)rvertr) =sin(y)

Passo 4

Multiplicamos a equação original por sin(y), obtendo
e^xsin(y),dx+l(e^xcos(y)+2yr),dy=0
Agora ela é exata, pois definindo
widetilde M=e^xsin(y), widetilde N=e^xcos(y)+2y,
verificamos partialwidetilde M/partial y=e^xcos(y)=partialwidetilde N/partial x.
Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x =widetilde M =e^xsin(y)
Integrando em relação a x,
Psi(x,y)=integral e^xsin(y),dx =e^xsin(y)+h(y)
Então
partialPsipartial y =e^xcos(y)+h'(y) stackrel!=widetilde N =e^xcos(y)+2y,
o que implica h'(y)=2y e, ao integrar,
h(y)=y^2
Portanto
Psi(x,y)=e^xsin(y)+y^2

Resposta

A solução geral da equação é
e^x,sin(y)+y^2=C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados