Exercício 2.26. Ache um fator integrante e resolver a equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante. Para resolver, vamos (i) testar a exatidão, (ii) encontrar um fator integrante que dependa só de
, e (iii) resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante
depende só de
, usamos a condição
que de fato é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora ela é exata, pois definindo
verificamos
.
Procuramos uma função potencial tal que
Procuramos uma função potencial
Integrando em relação a
,
Então
o que implica
e, ao integrar,
Portanto
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é constante de integração.