Determinar a área de superficie gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado:
4 y=x^2, 0 <= x <= 2 (eixo x )

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície obtida pela rotação da curva definida por
4y = x^2, 0 <= x <= 2
ao redor do eixo x. O conteúdo é superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b y,raiz1 + l(y'r)^2;dx

Passo 2

Primeiro escrevemos a função em forma explícita e calculamos a derivada:
y = x^24, y' = ddxl(x^24r) = x2
Então
1 + l(y'r)^2 = 1 + x^24 = 4 + x^24,
e
raiz1 + (y')^2 = raiz4 + x^22

Passo 3

Substituindo na fórmula de S:
S = 2pi integral0^2 l(x^24r),raiz4 + x^22;dx = pi integral0^2 x^2,raiz4 + x^24;dx = pi4integral0^2 x^2raizx^2+4;dx

Passo 4

Para calcular a integral
I = integral x^2raizx^2+4;dx
usamos a primitiva conhecida
integral x^2raizx^2+a^2;dx = x8l(2x^2-a^2r)raizx^2+a^2 + a^48lnl(x + raizx^2+a^2r)+C
Aqui a^2=4, logo a=2 e a^4=16. Assim
I = x8l(2x^2-4r)raizx^2+4 + 168lnl(x + raizx^2+4r) + C
Aplicando de 0 a 2:
I(2)-I(0) = l[2raiz2;+;2ln(2+2raiz2)r] - l[0 + 2ln 2r] = 2raiz2 + 2ln!l(tfrac2+2raiz22r) = 2l(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

Passo 5

Voltando a S:
S = pi4,I|0^2 = pi4cdot 2l(raiz2 + ln(1+raiz2)r) = pi2,l(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

Resposta

S = pi2,l(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

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