Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região definida pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de sólidos de revolução, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das camadas cilíndricas) para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas são:
-
: uma reta que passa pela origem com inclinação 3. -
: o eixo . -
: o eixo . -
: uma linha horizontal que está duas unidades acima do eixo .
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região limitada. A interseção de
e
ocorre quando
, ou seja,
. Então, a região é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos para encontrar o volume quando essa região é girada em torno do eixo
. Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) ao longo do intervalo de
.
A fórmula para o volume usando discos é:
onde
é a distância do eixo de rotação até a curva
.
Passo 4
Vamos encontrar
. Como estamos girando em torno de
, a distância
será a diferença entre 2 e
:
Mas na verdade, como a curva é
, precisamos expressar
em função de
:
Então, a distância do eixo
até a curva
é:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A região vai de
até
. Então, nosso intervalo de
a
é de 0 a 2.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites de 0 a 2:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.