Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dado:
y=3 x, x=0, y=0 e y=2( eixo y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região definida pelas curvas y = 3x , x = 0 , y = 0 e y = 2 é girada em torno do eixo y = 2 . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de sólidos de revolução, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das camadas cilíndricas) para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas são:
  • y = 3x : uma reta que passa pela origem com inclinação 3.
  • x = 0 : o eixo y .
  • y = 0 : o eixo x .
  • y = 2 : uma linha horizontal que está duas unidades acima do eixo x .
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região limitada. A interseção de y = 3x e y = 2 ocorre quando 3x = 2 , ou seja, x = 23 . Então, a região é um triângulo com vértices em (0,0) , (23, 2) e (0,2) .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos para encontrar o volume quando essa região é girada em torno do eixo y = 2 . Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) ao longo do intervalo de y .
A fórmula para o volume usando discos é:
V = pi integrala^b (R(y))^2 dy
onde R(y) é a distância do eixo de rotação até a curva y = 3x .

Passo 4

Vamos encontrar R(y) . Como estamos girando em torno de y = 2 , a distância R(y) será a diferença entre 2 e y :
R(y) = 2 - y
Mas na verdade, como a curva é y = 3x , precisamos expressar x em função de y :
x = y3
Então, a distância do eixo y = 2 até a curva y = 3x é:
R(y) = 2 - y

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região vai de y = 0 até y = 2 . Então, nosso intervalo de a a b é de 0 a 2.

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral0^2 (2 - y)^2 dy
Vamos expandir o integrando:
(2 - y)^2 = 4 - 4y + y^2
Então, a integral fica:
V = pi integral0^2 (4 - 4y + y^2) dy

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
V = pi [ 4y - 2y^2 + y^33 ]0^2
Calculando nos limites de 0 a 2:
V = pi ( 4(2) - 2(2)^2 + (2)^33 - (4(0) - 2(0)^2 + (0)^33) )
V = pi ( 8 - 8 + 83 )
V = pi ( 83 )

Resposta

O volume do sólido de revolução é 83 pi unidades cúbicas.

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