Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
y^{\prime \prime}+9 y=0 \quad y_{1}=\operatorname{sen}(3 x)$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial y'' + 9y = 0 e sabemos que uma solução dela é y1 = sin(3x) . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução particular da equação e queremos encontrar outra solução independente dela.

Passo 2

Primeiro, a ideia da redução de ordem é supor que a segunda solução y2 pode ser escrita como y2 = v(x) cdot y1 , onde v(x) é uma função que precisamos descobrir. Então, temos:
y2 = v(x) cdot sin(3x)

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y2 . Precisamos da primeira e segunda derivadas:
y2' = v'(x) cdot sin(3x) + v(x) cdot 3cos(3x)
y2'' = v''(x) cdot sin(3x) + 6v'(x) cdot cos(3x) - 9v(x) cdot sin(3x)

Passo 4

Substituímos y2 , y2' e y2'' na equação diferencial original:
y2'' + 9y2 = [ v''(x) cdot sin(3x) + 6v'(x) cdot cos(3x) - 9v(x) cdot sin(3x) ] + 9v(x) cdot sin(3x) = 0
Simplificando, os termos com v(x) se cancelam:
v''(x) cdot sin(3x) + 6v'(x) cdot cos(3x) = 0

Passo 5

Para simplificar, vamos dividir a equação por sin(3x) :
v''(x) + 6v'(x) cot(3x) = 0
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver. Seja u = v'(x) , então u' = v''(x) . A equação fica:
u' + 6u cot(3x) = 0

Passo 6

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 6cot(3x) dx = e^6 cdot 13 ln|sin(3x)| = (sin(3x))^2
Multiplicando toda a equação por mu(x) :
(sin(3x))^2 u' + 6(sin(3x))^2 cot(3x) u = 0
Isso simplifica para:
ddx [ (sin(3x))^2 u ] = 0
Integrando ambos os lados:
(sin(3x))^2 u = C
Onde C é a constante de integração. Então:
u = C(sin(3x))^2
Lembrando que u = v'(x) :
v'(x) = C(sin(3x))^2

Passo 7

Agora, vamos integrar v'(x) para encontrar v(x) :
v(x) = integral Csin^2(3x) dx = C integral csc^2(3x) dx = -C3 cot(3x) + D
Onde D é a constante de integração. Então:
v(x) = -C3 cot(3x) + D

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 9y = 0 usando o método da redução de ordem é:
y(x) = C1 sin(3x) + C2 cos(3x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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