Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
y^{\prime \prime}+9 y=0 \quad y_{1}=\operatorname{sen}(3 x)$
y^{\prime \prime}+9 y=0 \quad y_{1}=\operatorname{sen}(3 x)$
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e sabemos que uma solução dela é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução particular da equação e queremos encontrar outra solução independente dela.
Passo 2
Primeiro, a ideia da redução de ordem é supor que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos descobrir. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Precisamos da primeira e segunda derivadas:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Passo 5
Para simplificar, vamos dividir a equação por
:
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais fácil de resolver. Seja
, então
. A equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Lembrando que
:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando o método da redução de ordem é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.