Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. A matéria que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções para equações diferenciais não-homogêneas. Para resolver isso, primeiro vamos resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, usamos a equação característica. A equação característica associada é:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a parte não-homogênea da equação
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o lado direito da equação é
, podemos supor que a solução particular terá a forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: