Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime+5 y^prime+4 y=e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial y'' + 5y' + 4y = e^2x . A matéria que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções para equações diferenciais não-homogêneas. Para resolver isso, primeiro vamos resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular para a parte não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é y'' + 5y' + 4y = 0 . Para isso, usamos a equação característica. A equação característica associada é:
r^2 + 5r + 4 = 0
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
(r + 1)(r + 4) = 0
Então, as raízes são r = -1 e r = -4 .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
yh = C1 e^-x + C2 e^-4x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a parte não-homogênea da equação y'' + 5y' + 4y = e^2x usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o lado direito da equação é e^2x , podemos supor que a solução particular terá a forma:
yp = A e^2x
onde A é uma constante que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar yp para substituir na equação original:
yp' = 2A e^2x
yp'' = 4A e^2x
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação diferencial:
4A e^2x + 5(2A e^2x) + 4(A e^2x) = e^2x
Simplificando:
4A e^2x + 10A e^2x + 4A e^2x = 18A e^2x = e^2x
Comparando os coeficientes:
18A = 1 implies A = 118
Então, a solução particular é:
yp = 118 e^2x

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 e^-x + C2 e^-4x + 118 e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2 e^-4x + 118 e^2x

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