Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer: temos uma equação diferencial de segunda ordem, que é
já que sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da redução de ordem. Esse método nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução particular.
Passo 2
No método da redução de ordem, assumimos que a segunda solução
pode ser escrita como a primeira solução
multiplicada por uma função desconhecida
. Então, temos:
Aqui,
é a função que precisamos encontrar para obter a segunda solução.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:
Essas derivadas serão usadas na equação original.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando a expressão:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por ele:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão para
:
Simplificando, obtemos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: