Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
y^prime prime-25 y^prime=0 y1=e^5 x

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: temos uma equação diferencial de segunda ordem, que é
y'' - 25 y' = 0
já que sabemos uma solução dessa equação, que é y1 = e^5x . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da redução de ordem. Esse método nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução particular.

Passo 2

No método da redução de ordem, assumimos que a segunda solução y2 pode ser escrita como a primeira solução y1 multiplicada por uma função desconhecida v(x) . Então, temos:
y2 = v(x) cdot e^5x
Aqui, v(x) é a função que precisamos encontrar para obter a segunda solução.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y2 . Primeiro, a primeira derivada:
y2' = v'(x) cdot e^5x + v(x) cdot 5 e^5x = e^5x ( v'(x) + 5v(x) )
Em seguida, a segunda derivada:
y2'' = e^5x ( v''(x) + 10v'(x) + 25v(x) )
Essas derivadas serão usadas na equação original.

Passo 4

Vamos substituir y2 , y2' e y2'' na equação diferencial original:
y'' - 25y' = e^5x ( v'' + 10v' + 25v ) - 25 cdot e^5x ( v' + 5v ) = 0
Simplificando a expressão:
e^5x ( v'' + 10v' + 25v - 25v' - 125v ) = e^5x ( v'' - 15v ) = 0
Como e^5x nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por ele:
v'' - 15v = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
v'' - 15v = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação é:
v(x) = C1 e^raiz15x + C2 e^-raiz15x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Finalmente, substituímos v(x) de volta na expressão para y2 :
y2 = v(x) cdot e^5x = ( C1 e^raiz15x + C2 e^-raiz15x ) e^5x
Simplificando, obtemos:
y2 = C1 e^(5 + raiz15)x + C2 e^(5 - raiz15)x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^5x + C2 e^(5 + raiz15)x

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