Determine as derivadas parciais de 1^a ordem de:
f(x, y)=3 x^3 cdot ln (x y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = 3x^3 cdot ln(xy) . Para isso, vamos precisar entender derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Também vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é:
f(x, y) = 3x^3 cdot ln(xy)
Aqui, temos um produto de duas funções de x : u = 3x^3 e v = ln(xy) . Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .
  1. Derivamos u = 3x^3 em relação a x :
u' = ddx(3x^3) = 9x^2
  1. Derivamos v = ln(xy) em relação a x . Lembrando que y é uma constante em relação a x :
v' = ddx[ln(x) + ln(y)] = 1x + 0 = 1x
Agora aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = 9x^2 cdot ln(xy) + 3x^3 cdot 1x
Simplificando:
partial fpartial x = 9x^2 ln(xy) + 3x^2 = 3x^2(3ln(xy) + 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
A função continua sendo:
f(x, y) = 3x^3 cdot ln(xy)
Aqui, x é constante em relação a y . Portanto, a derivada será:
partial fpartial y = 3x^3 cdot ddy[ln(xy)]
Derivando ln(xy) em relação a y :
ddy[ln(xy)] = 1xy cdot x = 1y
Portanto:
partial fpartial y = 3x^3 cdot 1y = 3x^3y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y) = 3x^3 cdot ln(xy) são:
partial fpartial x = 3x^2 (3 ln(x y) + 1)
partial fpartial y = 3x^3y

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