Determine as derivadas parciais de
ordem de:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Para isso, vamos precisar entender derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Também vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
- Derivamos
em relação a :
- Derivamos
em relação a . Lembrando que é uma constante em relação a :
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função continua sendo:
Aqui,
é constante em relação a
. Portanto, a derivada será:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de
são: