Determinar as assíntotas verticais e horizontais das seguintes funções
f(x)=2 x+35 x^2-2 x-3

Passo 1

Nesse exercício a gente vai encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=2x+35x^2-2x-3. O conteúdo envolve limites de funções racionais e análise de comportamento no infinito e em raízes do denominador.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, lembramos que elas ocorrem nos valores de x que fazem o denominador ficar zero, pois a função tende a pminfty. Então, precisamos resolver a equação 5x^2 - 2x - 3 = 0.

Passo 3

Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver 5x^2 - 2x - 3 = 0. Aplicando:
x = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 5 cdot (-3)2 cdot 5
O discriminante é De, o que leva às raízes x = 1 e x = -tfrac35. Como o numerador 2x + 3 não zera em nenhum desses pontos, confirmamos as assíntotas verticais.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, comparamos o grau do numerador (1) com o do denominador (2). Como o grau do numerador é menor, temos
limx to pminfty f(x) = 0
o que implica na assíntota horizontal y = 0.

Resposta

As assíntotas verticais são x = 1 e x = -3/5, e a assíntota horizontal é y = 0.

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