Determinar os autovalores e autovetores correspondentes da matriz A=[ll1 & 4 3 & 5].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 4 3 & 5
Aqui vamos usar que os autovalores lambda satisfazem
det(A - lambda I) = 0
e que, para cada lambda, o autovetor vneq0 resolve (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 4 [4pt] 3 & 5-lambda = (1-lambda)(5-lambda) - 4cdot3
Expandindo,
(1-lambda)(5-lambda) - 12 = lambda^2 -6lambda +5 -12 = lambda^2 -6lambda -7
]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^2 -6lambda -7 = 0
As raízes são
lambda = 6 pm raiz36 +282 = 6 pm 82 Longrightarrow lambda1 = 7,;lambda2 = -1

Passo 4

Agora, para , resolvemos :
Da primeira linha, leva a . Um autovetor associado é
(qualquer múltiplo escalar serve).]

Passo 5

Para , resolvemos :
Da primeira linha, . Um autovetor conveniente é
]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1 = 7, com autovetor
v1 = 23,
e
lambda2 = -1, com autovetor
v2 = -21

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