Mostrar que as aplicações abaixo são transformações lineares:
T: R^2 longrightarrow R^3, T(x, y)=(x-y, 2 x+y, 0)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x - y,;2x + y,;0)
Conteúdo: transformações lineares. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades da definição:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v).
  2. Homogeneidade escalar: T(lambda u) = lambda,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u + v = (x1 + x2,;y1 + y2),
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T(u + v) = T(x1 + x2,;y1 + y2) = l((x1+x2)-(y1+y2),;2(x1+x2)+(y1+y2),;0r)
Distribuindo e agrupando, temos
T(u + v) = (x1-y1,;2x1+y1,;0) + (x2-y2,;2x2+y2,;0) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade escalar. Seja lambdainR e u=(x,y). Então
lambda,u = (lambda x,;lambda y),
e
T(lambda,u) = T(lambda x,;lambda y) = l(lambda x-lambda y,;2(lambda x)+lambda y,;0r) = lambda,(x-y,;2x+y,;0) = lambda,T(u)

Passo 4

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade escalar) estão satisfeitas para todo u,vinR^2 e todo lambdainR, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação Tcolon R^2 to R^3 dada por T(x,y)=(x-y,,2x+y,,0) é linear.

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