Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
x=2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 -tfrac12 & x
e pede para quais valores de x ela é diagonalizável sobre R. Para isso vamos usar a teoria de autovalores e a condição de diagonalização: em R^2, A é diagonalizável se ela tiver dois autovalores reais distintos (pois aí temos dois autovetores linearmente independentes).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A. Como trA = 1 + x e det A = 1cdot x - 2l(-tfrac12r) = x + 1, temos
p(lambda)=detl(A-lambda Ir) =lambda^2 - (1+x),lambda + (x+1)

Passo 3

Para ver se os autovalores são distintos e reais, examinamos o discriminante
De<a = (1+x)^2 - 4(x+1) = (x+1)l((x+1)-4r)=(x+1)(x-3)
Autovalores reais e distintos ocorrem quando De<a>0, isto é,
(x+1)(x-3)>0 Longrightarrow x<-1ou x>3

Passo 4

Nos casos De<a=0, ou seja x=-1 ou x=3, o autovalor é duplo. Basta verificar que a multiplicidade geométrica é 1 (pois a linha 2 de A-lambda I é proporcional à linha 1), então não há dois autovetores independentes e A não é diagonalizável nesses valores.

Resposta

A matriz A é diagonalizável sobre R exatamente para
xin(-infty,-1),cup,(3,infty)

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