Sejam T, G in L(R^3) assim definidos:
T(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Determinar:
uma base e a dimensão de Ker(T^2 circ G).

Passo 1

O enunciado define os operadores lineares T,G: R^3to R^3 dados por
T(x,y,z) = (x+y,;y+z,;z), G(x,y,z) = (x+2y,;y-z,;x+2z)
Queremos encontrar uma base e a dimensão de ker(T^2circ G). Para isso, vamos usar representação matricial dos operadores no espaço R^3 na base canônica, calcular a matriz de T^2circ G e resolver o sistema homogêneo associado.

Passo 2

Na base canônica, as matrizes associadas são
MT = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 , MG = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Aqui, cada coluna de MT (ou MG) é a imagem dos vetores básicos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Passo 3

Calculamos MT^2 = MTcdot MT. Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
MT^2 = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Passo 4

A matriz de T^2circ G é
A ;=; MT^2,MG ;=; 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2 = 2 & 4 & 0 2 & 1 & 3 1 & 0 & 2

Passo 5

Para achar
isto é o sistema
Da terceira equação vem é gerado por e tem dimensão .

Resposta

Uma base de ker(T^2circ G) é (-2,1,1) e diml(ker(T^2circ G)r)=1.

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