Determinar os autovalores e autovetores da s transformações abaixo.
T(x, y)=(-x+2 y, 2 x+8 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-x+2y,\;2x+8y).
O que é pedido: determinar todos os autovalores \lambda e, para cada autovalor, os autovetores correspondentes (vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v).
Informações relevantes que temos:
  • A ação de T em coordenadas canônicas está explícita nos dois componentes acima.
  • Precisamos encontrar \lambda que satisfazem a equação de autovalor e, em seguida, as respectivas direções (autovetores).

Passo 2

Passo básico: escrever T como matriz em relação à base canônica. Se v=(x,y) então T(v)=A v com
A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 2 & 8\end{pmatrix},
pois multiplicando essa matriz por \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} obtém-se exatamente \begin{pmatrix}-x+2y\\[2pt]2x+8y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição prática de autovalor/autovetor: \lambda é autovalor se existir v\neq 0 tal que
A v=\lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0.
Para existir solução não-trivial precisamos que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é que
\det(A-\lambda I)=0.
Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).

Passo 4

Escrever A-\lambda I e calcular o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & 8-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(8-\lambda)-2\cdot2.
Agora expandir com calma:
(-1-\lambda)(8-\lambda) = \lambda^2 -7\lambda -8,
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2 -7\lambda -8 -4 = \lambda^2 -7\lambda -12.
Logo o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2 -7\lambda -12.]

Passo 5

Resolver a equação p(\lambda)=0, ou seja
\lambda^2 -7\lambda -12=0.
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-7)^2 -4\cdot1\cdot(-12)=49+48=97.
Portanto as raízes são
\lambda = \frac{7\pm\sqrt{97}}{2}.
São os dois autovalores distintos:
\lambda_1=\frac{7+\sqrt{97}}{2},\qquad \lambda_2=\frac{7-\sqrt{97}}{2}.

Passo 6

Agora vamos achar um autovetor associado a cada autovalor resolvendo (A-\lambda I)v=0. Escrevemos v=(x,y) e usamos a primeira linha do sistema, que já dá uma relação simples.
Para um autovalor genérico \lambda a primeira equação é
(-1-\lambda)x + 2y = 0.
Isolando y:
y = \frac{1+\lambda}{2}\,x.
Isso mostra que os autovetores têm a forma v = \big(x,\; \frac{1+\lambda}{2}x\big) com x\neq 0 (qualquer escalar x gera o mesmo autovetor até escala).

Passo 7

Escolhemos x=2 para evitar frações; assim
y = 1+\lambda.
Para \lambda_1=\dfrac{7+\sqrt{97}}{2} temos
y_1 = 1+\lambda_1 = 1+\frac{7+\sqrt{97}}{2}=\frac{9+\sqrt{97}}{2}.
Multiplicando o vetor por 2 para eliminar denominador, um autovetor conveniente é
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9+\sqrt{97}\end{pmatrix}.
Isso significa que qualquer múltiplo escalar de v_1 é um autovetor associado a \lambda_1.]

Passo 8

Para \lambda_2=\dfrac{7-\sqrt{97}}{2} obtemos de forma análoga
y_2 = 1+\lambda_2 = \frac{9-\sqrt{97}}{2},
e multiplicando por 2 um autovetor conveniente é
v_2=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9-\sqrt{97}\end{pmatrix}.
Novamente, qualquer múltiplo de v_2 é um autovetor associado a \lambda_2.]

Passo 9

Opcional: checagem rápida (só para confirmar): substituindo v_1 em A v_1 deve dar \lambda_1 v_1. A verificação algébrica funciona porque derivamos v_1 a partir de (A-\lambda_1 I)v=0; assim os vetores construídos satisfazem a definição por construção.

Resposta

\displaystyle \lambda_1=\frac{7+\sqrt{97}}{2},\quad v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9+\sqrt{97}\end{pmatrix} (qualquer múltiplo escalar de v_1 é válido)\newline
\displaystyle \lambda_2=\frac{7-\sqrt{97}}{2},\quad v_2=\begin{pmatrix}4\\[4pt]9-\sqrt{97}\end{pmatrix} (qualquer múltiplo escalar de v_2 é válido)]

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