Determinar os autovalores e autovetores da s transformações abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que é pedido: determinar todos os autovalores
e, para cada autovalor, os autovetores correspondentes (vetores não nulos
tais que
).
Informações relevantes que temos:
- A ação de
em coordenadas canônicas está explícita nos dois componentes acima. - Precisamos encontrar
que satisfazem a equação de autovalor e, em seguida, as respectivas direções (autovetores).
Passo 2
Passo básico: escrever
como matriz em relação à base canônica. Se
então
com
pois multiplicando essa matriz por
obtém-se exatamente
.]
Passo 3
Definição prática de autovalor/autovetor:
é autovalor se existir
tal que
Para existir solução não-trivial precisamos que a matriz
seja singular, isto é que
Vamos calcular o polinômio característico
.
Passo 4
Escrever
e calcular o determinante:
O determinante é
Agora expandir com calma:
portanto
Logo o polinômio característico é
Passo 5
Resolver a equação
, ou seja
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
Portanto as raízes são
São os dois autovalores distintos:
Passo 6
Agora vamos achar um autovetor associado a cada autovalor resolvendo
. Escrevemos
e usamos a primeira linha do sistema, que já dá uma relação simples.
Para um autovalor genérico
a primeira equação é
Isolando
:
Isso mostra que os autovetores têm a forma
com
(qualquer escalar
gera o mesmo autovetor até escala).
Passo 7
Escolhemos
para evitar frações; assim
Para
temos
Multiplicando o vetor por
para eliminar denominador, um autovetor conveniente é
Isso significa que qualquer múltiplo escalar de
é um autovetor associado a
.]
Passo 8
Para
obtemos de forma análoga
e multiplicando por
um autovetor conveniente é
Novamente, qualquer múltiplo de
é um autovetor associado a
.]
Passo 9
Opcional: checagem rápida (só para confirmar): substituindo
em
deve dar
. A verificação algébrica funciona porque derivamos
a partir de
; assim os vetores construídos satisfazem a definição por construção.