Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da transformação linear
T: R^3to R^3 dada pela matriz
O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores. Para resolver, vamos:
- Calcular o polinômio característico
.det(A - lambda I) - Encontrar as raízes
(autovalores).lambda - Para cada
, resolverlambda para achar os autovetores.(A - lambda I)v = 0
Passo 2
Vamos determinar o polinômio característico:
Expansão pela primeira linha:
Isso dá
Fatorando
2-lambda :
Logo o polinômio característico é (até sinal)
e os autovalores são
Passo 3
Para
Da primeira equação implica
. Portanto
Um vetor próprio conveniente é
Passo 4
Para
, resolvemos
, i.e.
Da segunda linha vem
. Da primeira linha
dá
. A terceira só repete
. O coeficiente
fica livre, então
é um autovetor associado a
.
Passo 5
Para
, resolvemos
, i.e.
Da segunda linha
dá
. Da primeira
confirma
. Da terceira
dá
. Logo
é um autovetor para
.
Resposta
Os autovalores e autovetores de
T são: