Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
T(x, y, z)=[lll1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 3 & 0 & 2][lx y z]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da transformação linear T: R^3to R^3 dada pela matriz
A = 1 & 2 & 0 1 & 2 & 0 3 & 0 & 2
O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores. Para resolver, vamos:
  1. Calcular o polinômio característico det(A - lambda I).
  2. Encontrar as raízes lambda (autovalores).
  3. Para cada lambda, resolver (A - lambda I)v = 0 para achar os autovetores.

Passo 2

Vamos determinar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 & 0 1 & 2-lambda & 0 3 & 0 & 2-lambda
Expansão pela primeira linha:
(1-lambda)det2-lambda & 00 & 2-lambda -2det1 & 03 & 2-lambda
Isso dá
(1-lambda)(2-lambda)^2 - 2l(1cdot(2-lambda)-0cdot3r) = (1-lambda)(2-lambda)^2 -2(2-lambda)
Fatorando 2-lambda:
(2-lambda)l[(1-lambda)(2-lambda)-2r] = (2-lambda)l(lambda^2 -3lambda+2 -2r) = (2-lambda)lambda(lambda-3)
Logo o polinômio característico é (até sinal)
chi(lambda)=(2-lambda),lambda,(lambda-3),
e os autovalores são
lambda1=0, lambda2=2, lambda3=3

Passo 3

Para
Da primeira equação implica . Portanto
Um vetor próprio conveniente é

Passo 4

Para , resolvemos , i.e.
Da segunda linha vem . Da primeira linha . A terceira só repete . O coeficiente fica livre, então
é um autovetor associado a .

Passo 5

Para , resolvemos , i.e.
Da segunda linha . Da primeira confirma . Da terceira . Logo
é um autovetor para .

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
lambda1 &= 0,& v1 &= (-2,1,3), lambda2 &= 2,& v2 &= (0,0,1), lambda3 &= 3,& v3 &= (1,1,3)

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