Seja V=R^3, com o produto interno usual, determine(caso exista) um vetor u in R^3, que seja ortogonal aos vetores v=(2,-1,2) e w=(-1,1,4) simultâneamente.

Passo 1

O enunciado pede um vetor uinR^3 que seja ortogonal aos vetores
v=(2,-1,2)
e
w=(-1,1,4)
no produto interno usual em R^3. Para isso vamos usar a definição de ortogonalidade e resolver um sistema linear.

Passo 2

Seja
u=(x,y,z)
Ortogonaisidade significa
lang<= u,vrang<= = 0 e lang<= u,wrang<= = 0
Escrevendo em coordenadas:
2x - y + 2z = 0,
-,x + y + 4z = 0

Passo 3

Para resolver o sistema
2x - y +2z =0, -,x + y +4z =0,
podemos isolar, por exemplo, z=t como parâmetro. Substituindo na segunda equação:
-,x + y +4t =0 Longrightarrow y = x -4t
Agora use isso na primeira:
2x - (x-4t) +2t =0 Longrightarrow 2x - x +4t +2t =0 Longrightarrow x +6t =0 Longrightarrow x = -6t
Então
y = (-6t) -4t = -10t

Passo 4

Concluímos que a solução geral é
u = (x,y,z) = (-6t,,-10t,,t) = t,(-6,,-10,,1),
onde tinR. Qualquer escolha de tneq0 gera um vetor não nulo ortogonal a v e w. Por simplicidade, tomamos t=1.

Resposta

Um vetor que satisfaz é
u = (-6,-10,1)

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