Determinar os autovalores e os autovetores das transformações a seguir:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+3 y)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T por uma matriz A . Observando a transformação:
T(x, y) = (x + 2y, -x + 3y)
Podemos escrever a matriz A assim:
A = 1 & 2 -1 & 3

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 3 - lambda
E o determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda) - (2)(-1) = (1 - lambda)(3 - lambda) + 2
Expandindo:
(1 - lambda)(3 - lambda) = 3 - 4lambda + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 4lambda + 5

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 4lambda + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42 = 2 pm i
Portanto, os autovalores são lambda = 2 + i e lambda = 2 - i .

Passo 6

Vamos encontrar os autovetores correspondentes a lambda = 2 + i . Precisamos resolver (A - lambda I)v = 0 :
-1 - i & 2 -1 & 1 - i v1 v2 = 0 0
Da primeira equação:
(-1 - i)v1 + 2v2 = 0 implies v1 = 21 + iv2
Racionalizando:
21 + i = 2(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 1 - i
Então, o autovetor é:
v = 1 - i 1

Passo 7

Para lambda = 2 - i , resolvemos (A - lambda I)v = 0 :
-1 + i & 2 -1 & 1 + i v1 v2 = 0 0
Da primeira equação:
(-1 + i)v1 + 2v2 = 0 implies v1 = 2-1 + iv2
Racionalizando:
2-1 + i = 2(-1 - i)(-1 + i)(-1 - i) = -1 - i
Então, o autovetor é:
v = -1 - i 1

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda = 2 + i e lambda = 2 - i . Os autovetores correspondentes são, respectivamente,
1 - i 1 e -1 - i 1

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