Determinar os autovalores e os autovetores das transformações a seguir:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(5 x-y, x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
T:R^2toR^2 definida por
T(x,y) = (5x - y,;x + 3y)
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma matriz 2times2. Vamos representar T por sua matriz, calcular o polinômio característico, achar suas raízes e, em seguida, resolver o sistema para o espaço próprio.

Passo 2

A matriz associada a T na base canônica é
A = 5 & -1 1 & 3
Pela definição, os autovalores lambda satisfazem det(A - lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det5-lambda & -1 1 & 3-lambda = (5-lambda)(3-lambda) - (-1)cdot1 = lambda^2 -8lambda +16

Passo 4

Resolvendo
lambda^2 -8lambda +16 = 0
o discriminante é
De<a = (-8)^2 -4cdot1cdot16 = 64-64 = 0,
logo há raiz dupla
lambda = 82 = 4.

Passo 5

Para resolvemos , isto é
Dessa equação segue , ou seja . Portanto o espaço próprio associado a é gerado por .

Resposta

O único autovalor é lambda = 4 (multiplicidade algébrica 2) e os autovetores são todos os vetores da forma
alpha,(1,1) com alphaneq0.

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