Determinar os autovalores e os autovetores das transformações a seguir:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(y,-x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (y, -x) . Para isso, precisamos entender como determinar esses valores e vetores que atendem à equação T(v) = lambda v , onde lambda é o autovalor e v é o autovetor correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Em R^2, uma transformação linear pode ser escrita na forma de uma matriz A tal que A = a & b c & d . Observando a definição de T(x, y) = (y, -x) , podemos identificar que:
A = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor. Calculando A - lambda I :
A - lambda I = -lambda & 1 -1 & -lambda

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 + 1
Assim, a equação característica é:
lambda^2 + 1 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação lambda^2 + 1 = 0 :
lambda^2 = -1 implies lambda = pm i
Portanto, os autovalores são lambda = i e lambda = -i .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com lambda = i .
Substituímos lambda na equação (A - lambda I)v = 0 :
-i & 1 -1 & -i v1 v2 = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
-iv1 + v2 = 0 - v1 - i v2 = 0

Passo 7

Da primeira equação, podemos expressar v2 em termos de v1 :
v2 = i v1
Portanto, o autovetor correspondente a lambda = i pode ser escrito como:
v = 1 i

Passo 8

De forma semelhante, para lambda = -i , substituímos na equação (A - lambda I)v = 0 :
i & 1 -1 & i v1 v2 = 0 0
O sistema resultante é:
i v1 + v2 = 0 - v1 + i v2 = 0

Passo 9

Da primeira equação, temos:
v2 = -i v1
Então, o autovetor correspondente a lambda = -i é:
v = 1 -i

Resposta

Os autovalores da transformação T são lambda = i e lambda = -i , com os autovetores correspondentes:
v1 = 1 i e v2 = 1 -i

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