Determinar os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
[ll1 & 3 -1 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores lambda e os autovetores não nulos v da matriz
A = 1 & 3 [6pt] -1 & 5
O conteúdo é usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 para achar lambda e, em seguida, resolver (A - lambda I)v=0 para obter cada autovetor.]

Passo 2

Formamos A - lambda I e calculamos o determinante:
A - lambda I = 1-lambda & 3 [4pt] -1 & 5-lambda,
det(A - lambda I) = (1-lambda)(5-lambda) - (3)(-1) = (1-lambda)(5-lambda) + 3
Expandindo,
(1-lambda)(5-lambda) + 3 = 5 - lambda -5lambda + lambda^2 + 3 = lambda^2 -6lambda +8 ]

Passo 3

Resolvemos o polinômio característico
lambda^2 - 6lambda + 8 = 0
Usando fórmula de Bhaskara ou fatorando,
lambda^2 -6lambda +8 = (lambda-4)(lambda-2)=0
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lambda1 = 4, lambda2 = 2

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = 4:
A - 4I = -3 & 3 [4pt] -1 & 1,
a equação -3x + 3y=0 y=x. Um autovetor é
v1 = 1 1
Para lambda2 = 2:
A - 2I = -1 & 3 [4pt] -1 & 3,
a equação -x + 3y=0 x=3y. Um autovetor é
v2 = 3 1 ]

Resposta

Os autovalores e autovetores são
lambda1 = 4 com v1 = (1,,1)^T
lambda2 = 2 com v2 = (3,,1)^T.

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