Sejam A=(1 ; 1 ;-1); 2 ;-1 ; 0) ;(3 ; 2 ; 0) e B=(1 ; 2 ; 3) ;(4 ; 1 ; 2). Marque V ou F para as seguintes afirmações: (Justifique!)
( ) O conjunto A não forma uma base de R^3.
( ) O conjunto B forma uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos em R^3:
A=(1,1,-1),,(2,-1,0),,(3,2,0) com três vetores, e
B=(1,2,3),,(4,1,2) com dois vetores.
Para um conjunto ser base de R^3 ele precisa ter exatamente três vetores linearmente independentes. Vamos então verificar independência em A (via determinante) e contar vetores em B.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de A:
M = 1 & 2 & 3 1 & -1 & 2 -1 & 0 & 0
Calculamos o determinante:
det M =1cdotdet-1 & 20 & 0 -2cdotdet1 & 2-1 & 0 +3cdotdet1 & -1-1 & 0
=1cdot(0-0) -2cdot(1cdot0 -2cdot(-1)) +3cdot(1cdot0 -(-1)cdot(-1)) =-2cdot2 +3cdot(-1) =-4 -3 =-7neq0
Como det Mneq0, os três vetores de A são linearmente independentes e, por serem três em R^3, formam base. Logo a afirmação “ A não forma base” é falsa.

Passo 3

O conjunto B tem apenas dois vetores em R^3. Mesmo que eles sejam independentes, não chegam a três para gerar todo o espaço. Portanto B não pode ser base de R^3 e a afirmação “ B forma base” também é falsa.

Resposta

(F) O conjunto A não forma uma base de R^3.
(F) O conjunto B forma uma base de R^3.

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