Sejam ; e . Marque V ou F para as seguintes afirmações: (Justifique!)
( ) O conjunto A não forma uma base de .
( ) O conjunto B forma uma base de .
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos em : com três vetores, e com dois vetores.
Para um conjunto ser base de ele precisa ter exatamente três vetores linearmente independentes. Vamos então verificar independência em (via determinante) e contar vetores em .
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de :
Calculamos o determinante:
det M =1cdotdet-1 & 20 & 0 -2cdotdet1 & 2-1 & 0 +3cdotdet1 & -1-1 & 0
Como det Mneq0, os três vetores de A são linearmente independentes e, por serem três em R^3, formam base. Logo a afirmação “A não forma base” é falsa.
Passo 3
O conjunto B tem apenas dois vetores em R^3. Mesmo que eles sejam independentes, não chegam a três para gerar todo o espaço. Portanto B não pode ser base de R^3 e a afirmação “B forma base” também é falsa.
Resposta
(F) O conjunto A não forma uma base de R^3.
(F) O conjunto B forma uma base de R^3.