Determinar a e b de modo que os vetores u=(4,1,-3) e v=(6, a, b) sejam paralelos.
12) Verificar se são colineares os pontos:
a) A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1)
b) A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4)

Passo 1

O enunciado pede (i) determinar (a,b) tal que os vetores u=(4,1,-3) e v=(6,a,b) sejam paralelos e (ii) verificar se, em cada caso, três pontos dados são colineares, usando que três pontos são colineares se os vetores formados por dois pares são paralelos.

Passo 2

Para que u e v sejam paralelos, deve existir tinR tal que
(6,a,b) = t,(4,1,-3)
Isso gera o sistema
6 = 4t, a = 1cdot t, b = -3cdot t

Passo 3

Da primeira equação vem
t = 64 = 32
Logo
a = t = 32, b = -3t = -3cdot32 = -92

Passo 4

Para verificar colinearidade dos pontos A, B e C, calculamos
AB = B - A, AC = C - A,
e checamos se existe k tal que
AC = k,AB

Passo 5

a) Com A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1) temos
AB = (3,6,3), AC = (-1,-2,-1)
Como AC = -tfrac13,AB, são paralelos e os pontos são colineares.

Passo 6

b) Com A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4) temos
AB = (1,-2,1), AC = (-1,-1,5)
As razões das componentes seriam -1/1=-1, -1/(-2)=1/2 e 5/1=5, que não coincidem. Logo AB e AC não são paralelos e os pontos não são colineares.

Resposta

a = tfrac32, b = -tfrac92.
a) colineares.
b) não colineares.

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