Resumindo o enunciado: temos a superfície de segundo grau em dada por
O conteúdo principal é classificar quádricas via diagonalização de formas quadráticas definidas por matrizes simétricas. Vamos montar a matriz associada, encontrar autovalores e diagonalizar.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática como onde e
Passo 3
Note que A=I+J, onde I é a identidade e J é a matriz cujos elementos são todos 1. Sabemos que J tem autovalor 3 no autovetor (1,1,1) e autovalor 0 com multiplicidade 2 em vetores ortogonais a (1,1,1). Logo os autovalores de A são
lambda1=1+3=4, lambda2=lambda3=1+0=1
Passo 4
Escolhemos base ortonormal de autovetores: u=tfrac1raiz3(1,1,1) com autovalor 4, e v, w quaisquer autovetores ortonormais com autovalor 1 (no plano x+y+z=0). Em coordenadas (u,v,w) a equação vira
4u^2+v^2+w^2=3
Passo 5
Para colocar na forma canônica, dividimos por 3:
u^23/4+v^23+w^23=1
Isto revela um elipsóide com semieixo au=raiztfrac34=tfracraiz32 na direção u e semieixos av=aw=raiz3 nas direções v e w.
Passo 6
O esboço é um elipsóide centrado na origem, “achatado” ao longo da reta de direção (1,1,1) (menor eixo) e “esticado” nas direções perpendiculares (maiores eixos iguais). Em 3D, isso aparece como um “ovo” simétrico em relação ao plano x+y+z=0.
Resposta
A superfície é um elipsóide centrado na origem com semieixos tfracraiz32 na direção (1,1,1) e raiz3 em quaisquer direções ortogonais a (1,1,1).