Identifique e esboce a quadrica
2 x^2+2 y^2+2 z^2+2 x y+2 x z+2 y z=3

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície de segundo grau em R^3 dada por
2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz+2yz=3
O conteúdo principal é classificar quádricas via diagonalização de formas quadráticas definidas por matrizes simétricas. Vamos montar a matriz associada, encontrar autovalores e diagonalizar.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática como x^ T A x=3 onde x=(x,y,z)^ T e
A= 2&1&1 1&2&1 1&1&2

Passo 3

Note que A=I+J, onde I é a identidade e J é a matriz cujos elementos são todos 1. Sabemos que J tem autovalor 3 no autovetor (1,1,1) e autovalor 0 com multiplicidade 2 em vetores ortogonais a (1,1,1). Logo os autovalores de A são
lambda1=1+3=4, lambda2=lambda3=1+0=1

Passo 4

Escolhemos base ortonormal de autovetores:
u=tfrac1raiz3(1,1,1) com autovalor 4, e v, w quaisquer autovetores ortonormais com autovalor 1 (no plano x+y+z=0). Em coordenadas (u,v,w) a equação vira
4u^2+v^2+w^2=3

Passo 5

Para colocar na forma canônica, dividimos por 3:
u^23/4+v^23+w^23=1
Isto revela um elipsóide com semieixo au=raiztfrac34=tfracraiz32 na direção u e semieixos av=aw=raiz3 nas direções v e w.

Passo 6

O esboço é um elipsóide centrado na origem, “achatado” ao longo da reta de direção (1,1,1) (menor eixo) e “esticado” nas direções perpendiculares (maiores eixos iguais). Em 3D, isso aparece como um “ovo” simétrico em relação ao plano x+y+z=0.

Resposta

A superfície é um elipsóide centrado na origem com semieixos tfracraiz32 na direção (1,1,1) e raiz3 em quaisquer direções ortogonais a (1,1,1).

Exercícios relacionados