Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=raizx, y=0, x=1 em torno do eixo x=-1.

Passo 1

Neste exercício, a região é limitada pelas curvas y=raizx, y=0 e x=1, e vamos girar essa região em torno da reta vertical x=-1. O conteúdo envolve cálculo de volumes de sólidos de revolução, e é útil conhecer o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Para usar o método das cascas cilíndricas quando a rotação é em torno de uma reta vertical, imaginamos uma fatia vertical na posição x, com espessura dx.
O raio da casca, isto é, a distância de um ponto (x,y) até o eixo x=-1, é r=x-(-1)=x+1. A altura da casca é a função top y=raizx menos a base y=0, ou seja, h=raizx. Assim a fórmula do volume é
V = 2pi integral0^1 (raio)(a<ura),dx = 2pi integral0^1 (x+1)raizx,dx

Passo 3

Agora vamos calcular a integral. Note que
então

Passo 4

Multiplicando pelo fator 2pi, obtemos o volume do sólido.

Resposta

32pi15

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