Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema homogêneo em duas incógnitas (x,y):
x - y = 0, 2x - 3y = 0, 3x + tfrac12,y = 0
O espaço das soluções é o núcleo da matriz dos coeficientes. Para encontrá-lo, podemos usar substituição: expressar uma variável em função da outra e verificar consistência.
Passo 2
Da primeira equação ;x - y = 0; segue
x = y
Substituindo em ;2x - 3y = 0; obtemos
2y - 3y = -y = 0 Longrightarrow y = 0,
logo x = 0.
Passo 3
Verificando a terceira equação com (x,y)=(0,0):
3cdot 0 + tfrac12cdot 0 = 0,
que é satisfeita sem impor nova restrição. Portanto a única solução do sistema é o vetor trivial (0,0).
Passo 4
Como o espaço solução contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é
dim(Sol) = 0
e não há nenhum vetor não-nulo que gere o núcleo, ou seja, a base é o conjunto vazio.