Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
x-y & =0 2 x-3 y & =0 3 x+12 y & =0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo em duas incógnitas (x,y):
x - y = 0, 2x - 3y = 0, 3x + tfrac12,y = 0
O espaço das soluções é o núcleo da matriz dos coeficientes. Para encontrá-lo, podemos usar substituição: expressar uma variável em função da outra e verificar consistência.

Passo 2

Da primeira equação ;x - y = 0; segue
x = y
Substituindo em ;2x - 3y = 0; obtemos
2y - 3y = -y = 0 Longrightarrow y = 0,
logo x = 0.

Passo 3

Verificando a terceira equação com (x,y)=(0,0):
3cdot 0 + tfrac12cdot 0 = 0,
que é satisfeita sem impor nova restrição. Portanto a única solução do sistema é o vetor trivial (0,0).

Passo 4

Como o espaço solução contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é
dim(Sol) = 0
e não há nenhum vetor não-nulo que gere o núcleo, ou seja, a base é o conjunto vazio.

Resposta

Base: varnothing.
Dimensão: 0.

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