Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
IV) A B C=B A C;

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são matrizes quadradas da mesma ordem e pede para verificar se sempre vale
A B C = B A C
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes: ela é associativa, mas não é, em geral, comutativa.

Passo 2

Pela propriedade de associatividade temos
A B C = (A B) C e B A C = (B A) C
Para que (A B)C=(B A)C para todo C seria necessário que
A B = B A
Porém, em geral não vale A B = B A.

Passo 3

Basta então dar um contraexemplo simples. Escolhemos matrizes 2times 2:
A = 1 & 1 0 & 1, B = 1 & 0 1 & 1, C = I2 = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Calculemos
A B = 1 & 1 0 & 1 1 & 0 1 & 1 = 2 & 1 1 & 1,
B A = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & 1 1 & 2
Como A B neq B A, temos
A B C = (A B) I2 = A B e B A C = (B A) I2 = B A,
logo A B C neq B A C neste exemplo.

Resposta

A afirmação IV) é falsa.

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