Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
x+y+z & =0 2 x-y-2 z & =0 x+4 y+5 z & =0

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos o sistema homogêneo
x + y + z = 0, 2x - y - 2z = 0, x + 4y + 5z = 0,
que pede a base e a dimensão do espaço solução. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o espaço nulo.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha:
1 & 1 & 1 2 & -1 & -2 1 & 4 & 5
Fazendo R2 R2 - 2R1 e R3 R3 - R1 obtemos
1 & 1 & 1 0 & -3 & -4 0 & 3 & 4
Em seguida R3 R3 + R2 zera a terceira linha, ficando o sistema
x + y + z = 0, -3y - 4z = 0

Passo 3

Da segunda equação vem 3y + 4z = 0, portanto
y = -tfrac43z
Tomamos z = t como parâmetro livre. Substituindo em x + y + z = 0
x = -l(y+zr) = -l(-tfrac43t + tr) = tfrac13t
Logo a solução geral é
(x,y,z) = tl(tfrac13, -tfrac43, 1r)

Passo 4

O espaço solução tem um parâmetro, logo dimensão 1. Podemos multiplicar o vetor por 3 para eliminar frações e obter uma base simples:
(1,-4,3)

Resposta

A dimensão é 1 e uma base é (1,-4,3).

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