Seja V um espaço vetorial e U e W subsespaços vetoriais de V. Mostre que U cap W é um subespaço vetorial de V e use um contra-exemplo para mostrar que U cup W não é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e que U e W são subespaços de V. Precisamos mostrar que Ucap W é subespaço de V, isto é, verificar não-vazio, fechamento em soma e em multiplicação escalar. Em seguida, dar um contra-exemplo que prove que Ucup W nem sempre é subespaço.

Passo 2

Primeiro mostramos que Ucap W não é vazio. Como U e W são subespaços, ambos contêm o vetor zero de V. Logo,
0in U e 0in W
implica
0in Ucap W
Assim Ucap Wneqemptyset.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento em soma. Sejam u,vin Ucap W. Então
u,vin U e u,vin W. Como U e W são subespaços, são fechados sob soma, logo
u+vin U e u+vin W,
daí
u+vin Ucap W

Passo 4

Falta o fechamento em multiplicação escalar. Seja uin Ucap W e lambda escalar qualquer. Como uin U e U é subespaço, lambdauin U; e como uin W e W é subespaço, lambdauin W. Portanto
lambdauin Ucap W
Assim Ucap W satisfaz os três critérios de subespaço.

Passo 5

Para ver que Ucup W pode não ser subespaço, tomemos um contra-exemplo em V=R^2. Defina
U=(x,0)mid xinR e W=(0,y)mid yinR
Então
(1,0)in Usubset Ucup W e (0,1)in Wsubset Ucup W, mas
(1,0)+(0,1)=(1,1)notin Ucup W
porque nem está no eixo x nem no eixo y. Logo Ucup W não é fechado em soma, e portanto não é subespaço.

Resposta

Ucap W é subespaço vetorial de V, mas Ucup W em geral não é.

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