Seja
um espaço vetorial e
e
subsespaços vetoriais de V. Mostre que
é um subespaço vetorial de
e use um contra-exemplo para mostrar que
não é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e que
e
são subespaços de
. Precisamos mostrar que
é subespaço de
, isto é, verificar não-vazio, fechamento em soma e em multiplicação escalar. Em seguida, dar um contra-exemplo que prove que
nem sempre é subespaço.
Passo 2
Primeiro mostramos que
não é vazio. Como
e
são subespaços, ambos contêm o vetor zero de
. Logo,
implica
Assim
.
Passo 3
Agora verificamos o fechamento em soma. Sejam
. Então
e
. Como
e
são subespaços, são fechados sob soma, logo
daí
Passo 4
Falta o fechamento em multiplicação escalar. Seja
e
escalar qualquer. Como
e
é subespaço,
; e como
e
é subespaço,
. Portanto
Assim
satisfaz os três critérios de subespaço.
Passo 5
Para ver que
pode não ser subespaço, tomemos um contra-exemplo em
. Defina
Então
e
, mas
porque nem está no eixo
nem no eixo
. Logo
não é fechado em soma, e portanto não é subespaço.