Suponha que
é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que
também é uma base desse espaço.
Passo 1
Temos um espaço vetorial de dimensão
com base
. Definimos novos vetores
Queremos mostrar que
também é base, ou seja, que é linearmente independente e gera o espaço.
Passo 2
(Prova de independência linear) Suponha que exista combinação linear nula:
Como cada
, essa soma se expande em
Mas
é base, logo linearmente independente, o que força
Para
obtemos
. Retrocedendo, para
vem
e, como
, segue
. Repetindo até
, inferimos
. Logo
é linearmente independente.
Passo 3
(Prova de geração) Para mostrar que
gera, basta expressar cada
em termos dos
s. Note que, tomando
,
Assim todo vetor de
é combinação linear de
. Como
gera o espaço, segue que
também o gera.
Resposta
Como
é linearmente independente e gera o espaço de dimensão
, conclui-se que é base.