Suponha que \left\{u_{1}, \ldots, u_{n}\right\} é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que \left\{u_{1}, u_{1}+\right. \left.+u_{2}, \ldots, u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\right\} também é uma base desse espaço.

Passo 1

Temos um espaço vetorial de dimensão n com base \{u_{1},\dots,u_{n}\}. Definimos novos vetores
v_{1}=u_{1},\quad v_{2}=u_{1}+u_{2},\quad \ldots,\quad v_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}.
Queremos mostrar que \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} também é base, ou seja, que é linearmente independente e gera o espaço.

Passo 2

(Prova de independência linear) Suponha que exista combinação linear nula:
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}=0.
Como cada v_{i}=\sum_{k=1}^{i}u_{k}, essa soma se expande em
c_{1}u_{1} +c_{2}(u_{1}+u_{2}) +\cdots +c_{n}(u_{1}+\cdots+u_{n}) =\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=k}^{n}c_{i}\Bigr)\,u_{k}=0.
Mas \{u_{1},\dots,u_{n}\} é base, logo linearmente independente, o que força
\sum_{i=k}^{n}c_{i}=0 \quad\text{para }k=1,2,\dots,n.
Para k=n obtemos c_{n}=0. Retrocedendo, para k=n-1 vem c_{n-1}+c_{n}=0 e, como c_{n}=0, segue c_{n-1}=0. Repetindo até k=1, inferimos c_{1}=\cdots=c_{n}=0. Logo \{v_{1},\dots,v_{n}\} é linearmente independente.

Passo 3

(Prova de geração) Para mostrar que \{v_{i}\} gera, basta expressar cada u_{i} em termos dos vs. Note que, tomando v_{0}=0,
u_{i}=v_{i}-v_{i-1} \quad\text{para }i=1,2,\dots,n.
Assim todo vetor de \{u_{1},\dots,u_{n}\} é combinação linear de \{v_{1},\dots,v_{n}\}. Como \{u_{1},\dots,u_{n}\} gera o espaço, segue que \{v_{1},\dots,v_{n}\} também o gera.

Resposta

Como \{v_{1},\dots,v_{n}\} é linearmente independente e gera o espaço de dimensão n, conclui-se que é base.

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