Sejam U e V espaços vetoriais sobre \mathbb{R} de dimensões m e n, respectivamente. Considere o espaço vetorial \mathrm{U} \times \mathrm{V} cuja adição é dada por
\left(u_{1}, v_{1}\right)+\left(u_{2}, v_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, v_{1}+v_{2}\right)
e a multiplicação por escalares por \alpha(u, v)=(\alpha u, \alpha v).
Admitindo que \left\{u_{1}, \ldots, u_{m}\right\} e \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} são bases de U e de V, respectivamente, prove que:
\left\{\left(\mathrm{u}_{1}, o\right), \ldots,\left(\mathrm{u}_{\mathrm{m}}, o\right),\left(o, \mathrm{v}_{1}\right), \ldots,\left(o, \mathrm{v}_{\mathrm{n}}\right)\right\}
é uma base de \mathrm{U} \times \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial U\times V com
(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,\;v_1+v_2), \quad \alpha\,(u,v)=(\alpha u,\;\alpha v),
sabendo que \{u_1,\dots,u_m\} é base de U e \{v_1,\dots,v_n\} é base de V. Precisamos mostrar que
B=\{(u_1,o),\dots,(u_m,o),(o,v_1),\dots,(o,v_n)\}
é base de U\times V. Vamos usar os critérios de geradora (spanning) e de independência linear.

Passo 2

(Provar que B gera U\times V.)
Seja (u,v)\in U\times V. Como \{u_i\} gera U, escrevemos
u=\sum_{i=1}^{m}a_i\,u_i,
e como \{v_j\} gera V,
v=\sum_{j=1}^{n}b_j\,v_j.
Então, usando a adição em U\times V e a multiplicação escalar,
(u,v) =\Bigl(\sum_{i=1}^{m}a_i\,u_i,\;\sum_{j=1}^{n}b_j\,v_j\Bigr) =\sum_{i=1}^{m}a_i\,(u_i,o) \;+\;\sum_{j=1}^{n}b_j\,(o,v_j).
Logo (u,v) é combinação linear de elementos de B, isto é, B gera U\times V.

Passo 3

(Provar que B é linearmente independente.)
Considere uma combinação linear qualquer que produza o vetor nulo (o,o):
\sum_{i=1}^{m}a_i\,(u_i,o) \;+\;\sum_{j=1}^{n}b_j\,(o,v_j) =(o,o).
Pela definição de soma em U\times V isso equivale a
\Bigl(\sum_{i=1}^{m}a_i\,u_i,\;\sum_{j=1}^{n}b_j\,v_j\Bigr) =(o,o).
Logo os dois componentes são zero em cada espaço:
\sum_{i=1}^{m}a_i\,u_i = o\quad\text{em \(U\)}, \qquad \sum_{j=1}^{n}b_j\,v_j = o\quad\text{em \(V\)}.
Como \{u_i\} e \{v_j\} são bases (portanto conjuntos lineares independentes), seguem-se a_i=0 para todo i e b_j=0 para todo j. Assim B é linearmente independente.

Resposta

B=\{(u_1,o),\dots,(u_m,o),(o,v_1),\dots,(o,v_n)\} é uma base de U\times V.

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