Sejam
e
espaços vetoriais sobre
de dimensões
e
, respectivamente. Considere
espaço vetorial
cuja adição é dada por
e a multiplicação por escalares por
.
Admitindo que
e
são bases de
e de
, respectivamente, prove que:
é uma base de
.
Admitindo que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com
sabendo que
é base de
e
é base de
. Precisamos mostrar que
é base de
. Vamos usar os critérios de geradora (spanning) e de independência linear.
Passo 2
(Provar que
gera
.)
Seja . Como
gera
, escrevemos
Seja
e como
gera
,
Então, usando a adição em
e a multiplicação escalar,
Logo
é combinação linear de elementos de
, isto é,
gera
.
Passo 3
(Provar que
é linearmente independente.)
Considere uma combinação linear qualquer que produza o vetor nulo :
Considere uma combinação linear qualquer que produza o vetor nulo
Pela definição de soma em
isso equivale a
Logo os dois componentes são zero em cada espaço:
Como
e
são bases (portanto conjuntos lineares independentes), seguem-se
para todo
e
para todo
. Assim
é linearmente independente.